Волновая оптика, квантовая природа излучения, элементы атомной физики и квантовой механики

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

2 ВОЛНОВАЯ ОПТИКА, КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ, ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

2.1 Основные законы и формулы

Скорость света в среде

где с - скорость света в вакууме, м/с; n - показатель преломления среды.

Оптическая длина пути световой волны

где l - геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.

Зависимость разности фаз Дц от оптической разности хода Д световых волн

где λ - длина световой волны, м.

Условие максимального усиления света при интерференции

, (k=0, 1, 2,...).

Условие максимального ослабления света при интерференции

, (k=0, 1, 2,...).

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки,

или

где d - толщина пленки, м; n - показатель преломления пленки; i - угол падения; r - угол преломления света в пленке.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете

, (k=1, 2, 3,.....),

где k - номер кольца; R - радиус кривизны, м.

Радиус внешней границы m-ой зоны Френеля для сферических волн:

где а и b – расстояние от источника до волнового фронта и от волнового фронта до рассматриваемой точки пространства, соответственно, м; m – номер зоны Френеля.

Радиус внешней границы m-ой зоны Френеля для плоских волн:

где b – расстояние от волнового фронта до рассматриваемой точки пространства, м; m – номер зоны Френеля.

Угол φ отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (k=0, 1, 2, 3,....),

где a - ширина щели, м; k - порядковый номер максимума.

Угол φ отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на дифракционной решетке, определяется из условия

, (k=0, 1, 2, 3,....),

где d - период дифракционной решетки, м.

Закон Брюстера

где εВ - угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; n21 - относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса

где Io - интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор, Вт/м2; I - интенсивность этого света после анализатора, Вт/м2; α - угол между направлением колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления), град.

Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

1) (в твердых телах),

где б – постоянная вращения, град/м; l – расстояние, проходимое светом в оптически активном веществе, м;

2) (в растворах),

где [б] – удельное вращения, (град∙м2)/кг; С – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, кг/м3.

Закон Стефана-Больцмана

Re=σT4,

где Re - энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, Вт; σ - постоянная Стефана-Больцмана, Вт/(м2∙К4); Т - термодинамическая температура Кельвина, К.

Закон смещения Вина

λm=b/T,

где λm - длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, м; b - постоянная Вина, м∙К.

Энергия фотона

, или ,

где h - постоянная Планка, Дж∙с; - постоянная Планка, деленная на 2π, Дж∙с; ν - частота фотона, с-1; ω - циклическая частота, рад/с.

Масса фотона

m=ε/c2=h/(cλ),

где с - скорость света в вакууме, м/с; λ - длина волны фотона, м.

Импульс фотона

P=mc=h/λ.

Формула Эйнштейна для фотоэффекта

hν=А+Тmax=A+mυ2/2,

где hν - энергия фотона, падающего на поверхность металла, Дж; А - работа выхода электрона, Дж; Тmax - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, Дж.

Красная граница фотоэффекта

νо=А/h, или λо=hc/A,

где νо ‑ минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект, с-1; λо ‑ максимальная длина волны при которой еще возможен фотоэффект, м; h - постоянная Планка, Дж∙с; с - скорость света в вакууме.

Длина волны де Бройля

λ=h/p,

где р - импульс частицы, кг∙м/с.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

а) р=mov; (для нерелятивистского случая);

б) ; (для релятивистского случая);

где mo - масса покоя частицы, кг; m - релятивистская масса, кг; v ‑ скорость частицы, м/с; с - скорость света в вакууме, м/с; Ео - энергия покоя частицы (Ео=moc2), Дж.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга:

а) (для координаты и импульса),

где Δрх - неопределенность проекции импульса на ось Х; Δх - неопределенность координаты;

б) ΔЕΔt ≥ h (для энергии и времени),

где ΔЕ - неопределенность энергии, Дж; Δt - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии, с.

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

А=Z+N,

где Z - зарядовое число (число протонов); N - число нейтронов.

Закон радиоактивного распада

, или ,

где dN - число ядер, распадающихся за интервал времени dt; N - число ядер не распавшихся к моменту времени t; Nо - число ядер в начальный момент времени (t = to); λ - постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

В случае, если интервал времени Δt за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т1/2, то число распавшихся ядер можно определить по формуле

ΔN = λNΔt.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

Т1/2=(ln 2)/λ = 0,693/λ.

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

N = mNA/M

где m - масса изотопа, М - молярная масса; NА - постоянная Авогадро.

Активность А радиоактивного изотопа

А = - dN/dt = λN, или А = λNoe-λ t = Aoe-λ t,

где dN - число ядер, распадающихся за интервал времени dt, Ао - активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа

2.2 Примеры решения задач

Пример 1. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1.26, меньшим, чем у стекла. При какой толщине пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 0.55 мкм, угол падения 300.

Решение.

Рис.1

Свет, падая на систему пленка-стекло под углом i, отражается как от верхней 1, так и от нижней 2 поверхности пленки (см. рис.1). По условию задачи n1<n<n2, где n1 и n2 - показатели преломления соответственно воздуха и стекла. Лучи S1 и S2 когерентны, так как образованы из одного луча S. Результат интерференции этих лучей зависит от оптической разности хода. Лучи отражаются от среды с большим показателем преломления, поэтому как на верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны и, следовательно, оптическая разность хода волн равна

(1)

Условие минимума освещенности при интерференции (условие минимума) имеет вид

(2)

где k=1,2,3... - порядок интерференционного минимума.

Из (1) и (2) следует:

Откуда

Полагая k=1,2,3..., получим ряд возможных значений толщины пленки:

и т. д.

Подставляя числовые значения, получим:

и т. д.

Анализ размерности:

Ответ: d1=0.35 мкм, d2=0.59 мкм и т. д.

Пример 2. На дифракционную решетку Д нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0.65 мкм. На экране Э, расположенном параллельно решетке и отстоящем от нее на расстоянии 0.5м, наблюдается дифракционная картина (см. рис.2). Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка равно 10 см. Определить постоянную дифракционной решетки и общее число главных максимумов, получаемых с помощью этой решетки.

Решение.

Рис.2

Запишем условие главных максимумов дифракционной решетки:

(1)

где d-постоянная дифракционной решетки, φ-угол отклонения света от нормального направления распространения, k-порядок дифракционного максимума, λ-длина волны падающего на решетку монохроматического света.

По условию задачи k=1. Учитывая, что l/2<<L (см. рис.2), имеем

(2)

Подставляя (2) в (1), получим

или (3)

Подставляя в (3) числовые значения величин, находим

Анализ размерности:

Для определения общего числа максимумов, даваемых дифракционной решеткой, находим из условия, что максимальный угол отклонения света от нормального направления распространения не может превышать 90о, т. е.sin90о=1, тогда формула (1) примет вид. Производим вычисления:

Общее число максимумов равно n=2kmax+1 (центральный), т. е. влево и вправо от центрального максимума будут наблюдаться по kmax максимумов: n=2⋅10+1=21.

Ответ: d=6.5⋅10-6м, n=21.

Пример 3. На диафрагму с круглым отверстием диметром d=8 мм от точечного источника падает монохроматическая световая волна длиной л=5∙10‑7м. Найти число зон Френеля, укладывающихся в отверстии диафрагмы, если расстояние от источника до центра отверстия равно а=1 м, а расстояние от центра отверстия до экрана – b=2 м. Считать, что точечный источник расположен на перпендикуляре к поверхности диафрагмы, проходящем через центр отверстия.

Решение. От точечного источника света распространяется сферическая волна. Радиус внешней границы m-ой зоны Френеля для сферических волн:

, (1)

где m – номер зоны Френеля. Диаметр отверстия диафрагмы равен диаметру m‑ ой зоны Френеля, т. е. d=2rm. Из формулы (1) находим число зон Френеля, укладывающихся в отверстии:

Размерность формулы очевидна. Выполним расчеты:

Ответ: m=48.

Пример 4. Плоскополяризованный монохроматический свет падает на поляризатор и полностью им гасится. Когда на пути света поместили кварцевую пластину, интенсивность света после поляризатора стала равна половине интенсивности света, падающего на поляризатор. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляризатором пренебречь. Постоянную вращения кварца принять равной б=48,9 град/мм.

Решение. Полное гашение света поляризатором означает, что плоскость пропускания поляризатора перпендикулярна плоскости колебаний (А-А) плоскополяризованного света, падающего на него (см. рис.1). Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света (кварц относится к оптически активным веществам и обладает способностью вращать плоскость поляризации света) на угол

, (1)

где l – расстояние, проходимое светом в кварце или толщина пластины.

Рисунок 1 - Вращение плоскости поляризации кварцем

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через поляризатор, определим угол в, который установится между плоскостью пропускания поляризатора и новым направлением (В-В) плоскости колебаний (см. рис.1) падающего на поляризатор плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса:

, (2)

где I и I0 – интенсивности света прошедшего через поляризатор и падающего на поляризатор. Так как , то формула (2) принимает вид

. (3)

Из равенства (3) с учетом (1) получаем . Отсюда находим толщину кварцевой пластинки

Размерность формулы очевидна. По условия задачи . Выполним расчеты: .

Ответ: l=0,92∙10‑3м.

Пример 5. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения чёрного тела, λλ00==00,,5588 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) Re поверхности тела.

Решение. Энергетическая светимость Rе абсолютно чёрного тела в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры и выражается формулой:

, (1)

где σσ--постоянная Стефана-Больцмана;; Т - термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

, (2)

где b - постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (1) и (2), получаем

. ((33))

Произведём вычисления:

Ответ: .

Пример 6. Красная граница фотоэффекта для металла л0=6,2·10-5 см. Найти величину запирающего напряжения Uзап для фотоэлектронов при освещении металла светом с длиной волны л=3300 Ǻ.

Обозначим h постоянную Планка, с – скорость света в вакууме, е – заряд электрона.

Решение. Запирающим напряжением Uзап называют наименьшее напряжение электрического поля, которое способно полностью оттолкнуть электроны, вылетевшие из катода, от анода. Это напряжение должно быть таким, чтобы работа соответствующего электрического поля Аполя=еUзап была равна кинетической энергии вылетевших из металла электронов Ек:

Аполя=Ек или еUзап=Ек.

Кинетическую энергию вылетевших из металла при фотоэффекте электронов определим, воспользовавшись формулой Эйнштейна для фотоэффекта, согласно которой энергия фотона е, падающего на металл, расходуется на работу выхода электрона из металла Авых и на сообщение вырванному электрону кинетической энергии Ек:

е=Авых+Ек, откуда Ек=е – Авых,

поэтому еUзап= е – Авых. (1)

Работу выхода Авых можно определить, если известна красная граница фотоэффекта л0, т. е. длина световой волны, при которой у данного металла наступает фотоэффект. При этой длине волны энергия фотона равна работе выхода электрона из металла:

е0=Авых,

где согласно формуле Планка

е0=hv0 или е0=h, поскольку v0=.

С учетом этого Авых= h. (2)

Энергию фотона е, падающего на металл, также определим по формуле Планка: е=hv=h. (3)

Нам осталось подставить (2) и (3) в (1) и из полученного выражения определить искомое запирающее напряжение:

Откуда

Задача в общем виде решена. Переведем все единицы в СИ: 6,2·10-5 см=6,2·10-7 м, 3300Ǻ=3300·10-10 м=3,3·10-7 м.

Подставим числа и произведем вычисления:

Ответ: Uзап=1,76 В.

Пример 7. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошёл ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1=51 B; 2) U2=510 kB.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса р и определяется формулой

, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

, (2)

где m0-масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3)

где ΕΕ00==m0c2 - энергия покоя частицы.

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется:

в нерелятивистском случае

, (4)

в релятивистском случае

, (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1=51 B и U2=510 kB, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,

T=eU.

В первом случае T1=eU=51 эВ=0,51⋅⋅10--44 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона ΕΕ00==m0c2=0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что Т1=10-4m0c2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде

Учитывая, что h/m0c есть комптоновская длина волны ΛΛ, получаем

λλ11==110022ΛΛ//..

Так как ΛΛ==22,,4433пм (см. табл. 1 Приложения), то

λλ11==110022⋅⋅22,,4433// пм=171пм.

Во втором случае кинетическая энергия Т2=eU2=510 кэВ=0,51МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Т2=0,51 МэВ=m0c2, по формуле (5) находим

или λλ22==ΛΛ//..

Подставим значение ΛΛ и произведём вычисления:

λλ22==22,,4433//пм=1,40пм.

Пример 8. Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная неопределенность координаты электрона?

Решение. Согласно соотношению неопределенности Гейзенберга,

ДxДpx≥, (1)

где Дx и Дpx – неопределенности координаты и импульса частицы; h – постоянная Планка. Учитывая, что импульс равен

p=mv (2)

где m –масса, а v – скорость частицы, соотношение (1) можно представить в виде

Дx≥ (3)

Так как неопределенность скорости Дхx, как и сама скорость, не может превышать скорости света с в вакууме, то

Дxmin=h/(2рmc). (4)

Согласно условию задачи, m=3m0. Тогда [см. (4)]

Дxmin=;

Дxmin=

Ответ: Дxmin=1,28·10-13 м.

Пример 9. Сколько атомов распадается в 1 г за среднее время жизни этого изотопа?

Решение. Согласно закону радиоактивного распада,

N=N0 exp (-лt). (1)

где N – число нераспавшихся атомов в момент времени t; N0 – начальное число радиоактивных атомов в момент t=0; л – постоянная радиоактивного распада. Среднее время жизни радиоактивного изотопа есть величина, обратная постоянной распада:

ф=1/л (2)

По условию задачи, t=ф, тогда

N=N0/е. (3)

Число атомов, распавшихся за время t,

N′=N0 – N=N0 (1 – 1/е). (4)

Число атомов, содержащихся в массе m изотопа,

N0 =NA, (5)

где М – молярная масса изотопа NA – постоянная Авогадро. С учетом (5) выражение (4) примет вид

N′=;

N′=.

Ответ: N′=1,27·1023.

Пример 8. Найти энергию связи ядра лития . Масса атома =7.01601 а. е.м., массы атома водорода и нейтрона - соответственно М =1.00783 а. е.м. и nn=1.00867 а. е.м.