Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»
(второй семестр)
Функции нескольких переменных. Предел функции, непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал. Теорема о полном приращении функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование функций, заданных в неявном виде. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Экстремумы функции нескольких переменных. Геометрические приложения: уравнение касательной к линии в пространстве, уравнение касательной плоскости к поверхности.
7. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
8. Дифференциальные уравнения первого порядка.
9.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
10.Линейно-зависимые и линейно независимые функции. Теоремы о линейно зависимых функциях. Определитель Вронского.
11. ЛОДУ n-го порядка. Свойства решений ЛОДУ n-го порядка. Теорема об общем решении ЛОДУ n-го порядка.
12. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
13. ЛНДУ n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
14. ЛНДУ со специальной правой частью.
15. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Метод исключения.
16. Двойной интеграл. Определение и свойства.
17. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
18. Тройной интеграл. Определение и свойства.
19. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
20. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.
21. Замена переменной в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
22. Замена переменной в тройном интеграле. Сферические координаты.
23. Приложения кратных интегралов.
24.Криволинейные интегралы первого и второго рода и их свойства. Вычисление криволинейных интегралов. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
25. Формула Грина.
26. Определение и вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
27. Формула Остроградского. Формула Стокса.
28. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости ряда.
29. Признаки сравнения положительных числовых рядов.
30. Признаки сходимости положительных числовых рядов.
31. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
32. Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема об области сходимости степенного ряда.
33. Ряды Тейлора. Критерий представимости функции рядом Тейлора.
34. Ряды Тейлора (Маклорена) для функций ex, sin x, cos x, (1+x)б, ln(1+x).
35. Применение рядов.
36. Гармоники и их свойства.
37. Понятие тригонометрического ряда. Понятие ряда Фурье. Необходимый признак представимости функции тригонометрическим рядом.
38. Теорема Дирихле. Ряды Фурье в вещественной форме для четных и нечетных функций.
39.Понятие функции комплексной переменной. Понятие предела и непрерывность.
40. Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
41. Интегрирование функции комплексной переменной.
42. Элементы комбинаторики.
43. Основные понятия теории вероятностей.
44.Классическое определение вероятности случайного события. Геометрическая вероятность.
45. Системы несовместных событий.
46. Вероятность суммы событий.
47.Условная вероятность. Вероятность произведения двух событий. Независимые и зависимые события.
48. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
49. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Асимптотические формулы.
50.Функция Лапласа и ее свойства. Предельные теоремы теории вероятностей.
51. Дискретные случайные величины (ДСВ). Числовые характеристики ДСВ.
52. Виды распределений ДСВ.
53. Непрерывные случайные величины (НСВ). Функция распределения НСВ и ее свойства. Функция распределения НСВ.
54. Плотность распределения НСВ и ее свойства.
55. Числовые характеристики НСВ.
56. Виды распределений НСВ.
57.Нормальное распределение одной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсия нормальной случайной величины.
58. Функция распределения нормальной случайной величины. Правило 3σ.
59.Закон распределения дискретной двумерной случайной величины. Условные законы распределения вероятностей, составляющих дискретной двумерной случайной величины.
60. Плотность, условные законы распределения вероятностей, составляющих непрерывной двумерной случайной величины.
