Пятая математическая олимпиада orange

Пятая математическая олимпиада orange 

Тур 3.  Классы 4-5.

2004-2005 гг.

Анкета участника

бд"с тшб	бд"с	лйъд	имфеп	щн фший	щн ощфзд

тйш	ойчег	ос' гйшд	ос' бйъ	шзеб

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы,

так и подробные решения задач.

1. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 с помощью четырех арифметических действий следует получить 0. Каждое число и действие нужно использовать ровно один раз. Скобки использовать запрещено. Числа могут быть в любом порядке.

2. Расставить 10 фишек на доске 4×4 так, чтобы в каждой строке

и в каждом столбце было четное число фишек.

3. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось правильное равенство (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым - одинаковые).

abcd + abc + ab + a = 2005

4. Одна из четырех сестер испекла пирог. Удивленная мать спросила, кто это сделал. Анат ответила: "Это Веред или Яэль". Веред сказала: "Это не я и не Орит ". Яэль сказала: "Вы обе шутите". Орит возразила: "Нет, Яэль, ты не права". Про троих своих дочерей мама знает, что они никогда не лгут. Кто испек пирог?

5. Разрезать фигуру на четыре одинаковые части (по границам клеток).

слен	5	4	3	2	1	ъецаеъ

Пятая математическая олимпиада orange 

Тур 3.  Классы 6-7.

2004-2005 гг.

Анкета участника

бд"с тшб	бд"с	лйъд	имфеп	щн фший	щн ощфзд
тйш	ойчег	ос' гйшд	ос' бйъ	шзеб

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы,

так и подробные решения задач.

×	a	b	c
a	b	c
*	*	*
+	*	*	*
*	*	*
*	*	*	*	*	*

1. Два мудреца написали на карточках числа от 5 до 11

и перемешали их, после чего первый взял себе три карточки, второй – две, а оставшиеся две карточки мудрецы спрятали

в мешок. Первый, посмотрев на свои карточки, воскликнул: «Я точно знаю, что сумма чисел на твоих карточках чётная!» Какие числа написаны  на  карточках первого?

2. Замените буквы и звездочки на цифры так, чтобы получился правильный пример (разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым – одинаковые).

3. Имеются 4 гирьки. На них сделаны наклейки: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г. Известно, что на одной из наклеек указанный вес не соответствует действительному весу гирьки. За два взвешивания на чашечныx весах найдите «неправильную» гирю.

4. Разрежьте квадрат на треугольники так, чтобы каждый из треугольников граничил ровно с тремя другими. Два треугольника граничат, если у них есть общий отрезок границы )не точка).

5. Одна из пяти сестер испекла пирог. Удивленная мать спросила, кто это сделал. Анат ответила: "Это Мири или Яэль". Мири сказала: "Это сделала не я и не Орит". Яэль сказала: "Вы обе шутите". Веред возразила: "Нет, одна из них сказала правду, а другая ошиблась". Орит сказала: "Нет, Веред, ты не права".

  Кто испек пирог, если известно, что  по крайней мере  три девочки сказали правду?

6. На одной улице каждый дом окрашен в красный, желтый или зеленый цвет. Половина домов – зеленые, треть – желтые, а все дома, номер которых делится на 4, ­ – красные. Сколько домов на этой улице?

слен	6	5	4	3	2	1	ъецаеъ

Пятая математическая олимпиада orange 

Тур 3.  Классы 8-9.

2004-2005 гг.

Анкета участника

бд"с тшб	бд"с	лйъд	имфеп	щн фший	щн ощфзд
тйш	ойчег	ос' гйшд	ос' бйъ	шзеб

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы,

так и подробные решения задач.

1. Найдите все двузначные числа, делящиеся на произведение своих цифр.

2. На столе лежат 13 карточек, на каждой из которых написано число от 1 до 13, при этом нет двух карточек с одинаковым числом. Двое по очереди берут  со стола по одной карточке. Побеждает тот, кто первым сумеет набрать  из своих карточек число 21. При составлении суммы не обязательно использовать все свои карточки. Кто из игроков всегда может выиграть, и как он должен играть?

3. На перемене восьмиклассники купили 5 пит, 9 порций мороженого и одну баночку колы  и заплатили за все это 143 шекеля. Ученики девятиклассники заплатили 114 шекелей за 4 питы, 7 порций мороженого и одну баночку колы. Учитель купил одно мороженое, одну баночку колы и одну питу. Сколько он заплатил?

4. Можно ли поставить арифметические знаки вместо звездочек так, чтобы получился 0? (Нельзя пользоваться скобками).

5. Разрежьте квадрат на треугольники так, чтобы каждый из треугольников граничил ровно с тремя другими. Два треугольника граничат, если у них есть общий отрезок границы )не точка).

6. На одной улице каждый дом окрашен в красный, желтый, зеленый или синий цвет. Треть домов – желтые, а зеленых домов больше десяти. Дома, номера которых делятся на 5, – синие, а дома, номера которых делятся на 7, – красные.

Сколько всего домов на этой улице?

слен	6	5	4	3	2	1	ъецаеъ

Пятая математическая олимпиада orange 

Тур 3.  Классы 10-12.

2004-2005 гг.

Анкета участника

бд"с тшб	бд"с	лйъд	имфеп	щн фший	щн ощфзд

тйш	ойчег	ос' гйшд	ос' бйъ	шзеб

Задачи

В этом туре вы должны (на отдельном листе) представить как ответы,

так и подробные решения задач.

1. Шестиугольник вписан в окружность. Все его углы равны. Обязательно ли равны все его стороны?

2. Какое максимальное значение может принимать разность между корнями уравнения  x2 + 6x + m2 + 8m = 0 ?

3. При каком положении точки на гипотенузе данного прямоугольного треугольника расстояние между ее проекциями на катеты будет наименьшим?

4. (a) Продолжить последовательность: 1, 4, 12, 32, 80, ... .

  (б) Найти сумму  1 + 3+ 8 + 20 + ... + 256.

5. На одной улице каждый дом окрашен в красный, желтый, зеленый или синий цвет. Треть домов – желтые, а зеленых домов больше десяти. Дома, номера которых делятся на 5, – синие,

а дома, номера которых делятся на 7, – красные.

Сколько всего домов на этой улице?

6. Какие из четырех чисел

A=  ,  B=,

C=  ,  D=

равны между собой? Ответ обоснуйте.

слен	6	5	4	3	2	1	ъецаеъ