Семинар «Введение в современную математику» для старшеклассников –
потенциальных лидеров команд на РТЮМ и участников подготовки к МТЮМ
СРОКИ ПРОВЕДЕНИЯ. Первый семестр: конец сентября (с 30 сентября) по конец ноября. Примерно 9-10 занятий по 2-3 часа.
Второй семестр: с 20 января по апрель. Примерно 12-14 занятий по 2-3 часа.
День недели: вторник, начало – 16-50 . Аудитория 522 глав. корпуса БГУ
Предложения по формату проведения:
примерно 2 часа (одна пара) – лекция с разбором показательных примеров +
+ возможно около 1 часа – обсуждение дополнительных задач по теме (предварительно такие задачи стоит давать как домашнее задание для самостоятельного решения, а затем обсуждать в малых группах).
- Персонально приглашаются порядка 20 учащихся 10-11 классов из сильных школ и(или) победителей олимпиад-конференций достаточно высокого уровня, согласовывается время и даты на каждый семестр (вплоть до согласования с директорами учебных заведений); главное требование к учащимся - высокая посещаемость (до 90-100%) и самоотдача, а также участие в командах различных УО в нашем республиканском турнире! требование от лекторов-практиков – качественный подбор и подача материала (привлечь, заинтересовать сложной математикой, разъяснить и т. п., при этом не испугать) желательно одновременно участвовать в работе проблемного (научного) семинара по подготовке проектов к республиканской конференции
Примерная программа семинара
I. Дополнительные главы элементарной теории чисел и введение в современную теорию чисел ( или , 4 занятия)
1. Сравнения и их свойства. Системы линейных сравнений, китайская теорема об остатках.
2. Квадратичные вычеты. Символы Якоби и Лежандра.
3. Теоремы Ферма и Эйлера. Показатели, первообразные корни, индексы.
4. Основные теоремы о простых числах (критерии простоты, теоремы о распределении).
5. Конечные и бесконечные цепные дроби.
6. Алгебраические и трансцендентные числа. Их алгебраические и аналитические свойства.
7. Приложения к решению элементарных задач на делимость, исследованию диофантовых уравнений, а также в информатике.
II. Введение в аналитическую геометрию и линейную алгебру (, 3 занятия)
1. Точки, прямые, плоскости в R, R2, R3. Способы задания.
2. Вектора в Rn и операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение.
3. Комплексные числа в алгебраическом и геометрическом представлении. Операции над ними.
4. Матрицы и определители. Операции над ними и фундаментальные свойства.
5. Приложения к решению элементарных задач (в т. ч. исследование систем линейных алгебраических уравнений, нахождение расстояний и углов между прямыми и плоскостями, приложения комплексных чисел к решению геометрических задач).
III. Введение в теорию множеств (, 2 занятия)
1. Понятие множества. Способы задания и примеры парадоксов теории множеств. Операции над множествами. Принцип включения-исключения. Мощность множеств, понятие эквивалентности. Шкала мощностей. Континуум-гипотеза. Алгебры и у-алгебры.
2. Частично упорядоченные множества. Принцип трансфинитной индукции.
3. Приложения теории к решению элементарных задач.
IV. Элементы абстрактной алгебры ( или , 3 занятия)
1. Бинарные операции и их свойства.
2. Группы. Способы задания. Примеры. Фундаментальные теоремы (о порядках группы, элементов, циклических группах, факторгруппы).
3. Кольца. Примеры. Наиболее употребительные классы колец (области целостности, факториальные кольца, евклидовы кольца). Идеалы, факторкольца.
4. Поля. Примеры. Фундаментальные теоремы о конечных полях. Поля разложения многочленов.
5. Приложения алгебраических структур к решению конкретных задач и док-ву элементарных теорем.
V. Введение в современную комбинаторику, теорию графов ( или , 4 занятия)
1. Элементарная комбинаторика: перестановки, сочетания, размещения. Основные принципы.
2. Элементы теории графов. Основные понятия и фундаментальные теоремы теории графов. Основные алгоритмы на графах.
3. Рекуррентные последовательности и возвратные уравнения.
4. Производящие функции. Определения, свойства. Приложения к решению задач.
5. Вероятностные методы в комбинаторике.
VI. Введение в классический и функциональный анализ (, 4 занятия)
1. Пределы последовательностей и функций. Определения, примеры и свойства.
2. Непрерывные и дифференцируемые функции 1 переменной. Фундаментальные теоремы.
3. Интегралы Римана и Лебега и их смысл. Связь между ними. Основные способы вычислений.
4. Функции нескольких переменных. Частные производные.
5. Исследование экстремума функций.
6. Ряды: числовые и функциональные. Типы и признаки сходимости.
7. Основные функциональные пространства. И их характеристики.
VII. Введение в теорию вероятностей ( или , 2 занятия)
1. Элементарная теория вероятностей. Основные вероятностные модели. События и их свойства. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Формула полной вероятности.
2. Математические основы теории вероятностей. Понятие вероятностного пространства и случайной величины. Типы случайных величин и их характеристики (функция и плотность распределения, математическое ожидание). Основные распределения. Сходимость последовательностей случайных величин.
3. Классические задачи теории вероятностей.
VIII. Элементы топологии (, 2 занятия)
1. Топология пространства Rn. Открытые, замкнутые множества. Компактность. Связность.
2. Топология функциональных пространств C[a, b] и C(R).
3. Задание топологии на произвольном множестве. Свойства метрик, норм, скалярных произведений. Понятие гомеоморфизмов пространств.
