Содержание

Задача 15.1.87.        3

Задача 15.2.57.        3

Задача 17.1.7.        4

Задача 17.2.7.        4

Задача 17.3.7.        5

Задача 19.2.7.        5

Список литературы        8

Контрольная работа №1

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Теория вероятностей. Математическая статистика.

Вариант 7

Задача 15.1.87. Найти частное решение дифференциального уравнения . Сделать проверку.

Решение:  Уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными [1, С.329]. Имеем: или .

Интегрируя обе части уравнения, получаем: или . Из условия находим С: . Т. о. частное решение уравнения имеет вид .

Проверка: Найдем производную: , тогда , т. е. .

Ответ: .

Задача 15.2.57. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения .

Решение:  Уравнение является линейным однородным ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения данного уравнения достаточно найти два его частных решения, образующие фундаментальную систему [5, С.354].

Составляем характеристическое уравнение: и находим его корни: , следовательно, . Корни характеристического уравнения действительны и различны, следовательно, частные решения уравнения - и [5, С.330]. Общее решение уравнения имеет вид: .

Ответ: .

Задача 17.1.7. В лотерее 1000 билетов, из них на один билет дают выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – по 100 рублей, на 50 билетов – по 20 рублей, на 100 билетов – по 5 рублей, остальные билеты без выигрышные. Некто покупает 1 билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение:  Пусть А={выиграть не менее 20 рублей},

B1={выиграть 500 рублей},

B2={выиграть 100 рублей},

B3={выиграть 20 рублей}.

Тогда .

События B1, B2, B3 попарно несовместны, поэтому [2, С.14].

Находим вероятности событий B1, B2, B3 согласно классическому определению вероятности: , , .

Далее, .

Ответ: .

Задача 17.2.7. Станок-автомат производит 90% изделий первого сорта, 7% второго, а остальные третьего. X – число изделий первого сорта среди двух выбранных. Найдите дисперсию случайной величины X.

Решение: Случайная величина X – число изделий первого сорта среди двух выбранных – может принимать значения 0, 1 или 2. Вычислим вероятность каждого события:

, , .

Получаем закон распределения дискретной случайной величины X:

0

1

2

0,01

0,18

0,81

(Проверка: ).

Математическое ожидание случайной величины X найдем по формуле [2ер, С.35]: .

Дисперсию D(X) найдем по формуле [2, С. 40]:

.

Ответ: .

Задача 17.3.7. Известны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал .

Решение:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой , где функция Лапласа [4, С.373].

В нашем случае .

Ответ: .

Задача 19.2.7. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице:

X

Y

45

55

65

75

85

10

-

-

-

2

3

5

20

-

-

7

5

7

19

30

-

3

9

12

3

27

40

4

7

13

8

-

32

50

9

8

-

-

-

17

13

18

29

27

13

100

Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки , рассчитанные по таблице данных.

Решение:

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах , , выбрав в качестве ложных нулей и (каждая из этих вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда), а в качестве шагов и - разности между двумя соседними вариантами (20-10=10, 55-45=10):

-2

-1

0

1

2

-2

-

-

-

2

3

5

-1

-

-

7

5

7

19

0

-

3

9

12

3

27

1

4

7

13

8

-

32

2

9

8

-

-

-

17

13

18

29

27

13

n=100

Найдем и [3, С.192-194]:

;

.

Найдем вспомогательные величины и :

;

.

Найдем и : ;

.

Найдем , для чего составим расчетную таблицу:

 

 

-2

-1

0

1

2

-2

2

6

8

-16

2

3

-4

-6

-1

0

5

14

19

-19

7

5

7

-7

-5

-7

0

-3

0

12

6

15

0

3

9

12

3

0

0

0

0

1

-8

-7

0

8

-7

-7

4

7

13

8

4

7

13

8

2

-18

-8

-26

-52

9

8

18

16

22

23

6

-1

-13

=-94

-44

-23

0

-1

-26

=-94

Контроль

Т. о. .

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

.

Найдем и :

.

.

Найдем и :

;

.

Подставив найденные величины в соотношение , получим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X:

или .

Построим график уравнения регрессии и отметим точки , рассчитанные по таблице данных:

Список литературы


Курс высшей математики: Учеб. Для студ. Высш. пед. учеб. Заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2004. – 560с. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / . – М.: Высш. Шк., 2005. – 160с. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов/ . - М.: Высш. шк., 2004. – 404с. , , . Сборник задач по высшей математике. 2 курс. / Под ред. С. Н, Федина. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592с. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / . – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608с.