Дистанционная олимпиада по математике 7 класс (II тур)
Найдите все такие целые С
, при которых дробь 
является целым числом. Решение. 
= 
= 
+ 
= 1 + 
;
≤ 3;
- 3 ≤ С ≤ 3; - 7 ≤ С ≤ -1; С = -1; С= - 3; С= -7.
Ответ. -1, -3, -7.
Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?Решение. По условию:
1) П + Л = 40 р.
2) Л + К = 12 р.
3) П + К + 2Т = 50 р.
4) П + Т - ?
П + Л + Л + К + П + К + 2Т = 102;
2П + 2Л + 2К + 2Т = 102;
П + Л + К + Т = 51;
П + 12 + Т = 51;
П + Т = 39.
Ответ. 39 рублей.
Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого была равна одной четвертой второго.Решение. Пусть 1 слагаемое 
х;
2 слагаемое – (56 – х).
По условию задачи:
(1 слагаемое)
Ответ. 24 + 32 = 56.
Число a
составляет 80% числа b, a число с оставляет 140% числа b. Найдите числа a, b, c если известно что c больше a на 72. Решение. По условию задачи a = 0,8 b;
с = 1,4 b;
с = а + 72.
Тогда
;
;
;
;
;
.
.
Ответ. 96, 120, 168.
Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.Решение.
Пусть х – длина поезда.
S | t | v | |
Мимо светофора | x | 5 |
|
Мимо платформы |
| 15 |
|
м.
Скорость поезда: 
м/c.
Ответ. 75 м, 15 м/c.
Найдите наименьшее число записываемое одними единицами, которое делилось бы на число 33…3 (сто троек).Решение. Т. к. 
,
,
, …
то мы получаем закономерность: 
300 ед. 100 троек
Ответ. 100 троек.
Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде, проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?Решение. Пусть 
– собств. скорости катеров;
– скорость течения первой реки;
– скорость течения второй реки;
;
– время движения по первой реке;
– время движения по второй реке.
Первая река:
|
|
| |
По течению |
|
|
|
Против течения |
|
|
|
Вторая река:
|
|
| |
По течению |
|
|
|
Против течения |
|
|
|
Сравним 
и 
. Т. к. 
.
Ответ. В реке с быстрым течением.
Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если известно, что это число делится на 72.Решение. Т. к.
, то 72 делится на 2 и на 9. Значит число 42x4y – четное число и делится на 9.
Пусть y=0, тогда x=8. Получаем число 42840, которое делится на 72.
При y=2, x=6 получаем число 42642 – не делится на 72.
При y=4, x=4 получаем число 42444 – не делится на 72.
При y=6, x=2 получаем число 42246 – не делится на 72.
При y=8, x=0 получаем число 42048 – делится на 72.
Ответ. 0 и 8, 8 и 0.
Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в учебнике?Решение.
От 1 до 9 – 9 цифр;
10, 11, …, 19 – 20 цифр;
20, 21, …, 29 – 20 цифр;
…………………………… (от 10 до 100 – 180 цифр)
100, 101, …, 109 – 30 цифр;
110, 111, …, 119 – 30 цифр;
………………………………
160, 161, …, 169 – 30 цифр. (от 100 до 169 – 210 цифр)
9+180+210=399 цифр.
170, 171, 172, 173 – 12 цифр.
399+12=411 цифр.
Ответ. 173 страниц.
Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?Решение. Построим схему:
Я
Мама Папа
Бабушка Дедушка Бабушка Дедушка
Прабабушка (Прб) Прадедушка (Прд) Прб Прд Прб Прд Прб Прд
Мама (М) Папа (П) М П М П М П М П М П М П М П
Бабушка (Б) Дедушка (Д) Б Д Б Д Б Д Б Д Б Д … (16 бабушек)
Прабабушка (Прб) Прадедушка (Прд) Прб Прд … (32 прабабушки)
Ответ. 16 бабушек, 32 прабабушки.
