Министерство образования и науки Российской Федерации

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математических и компьютерных методов

В. Г. ЛЕЖНЕВ, А. Н. МАРКОВСКИЙ

ЗАДАНИЯ НА MATHCAD ПО КУРСУ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебное пособие

Электронный ресурс

http://www.lvg.kubsu.ru

Краснодар - 2014

Задание №1

Номер  варианта задания определяется номером студента по списку группы. Каждому варианту соответствует криволинейный треугольник с границей (см. методичку [1], с. 5).

Для вычисления криволинейного интеграла

требуется свести его к определенному интегралу по , используя равенства:

,

.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

 

вдоль ориентированной кривой  сводится к вычислению следующего определенного интеграла по

 

(направление обхода контура определяет знаки приращений , в разных частях контура и, следовательно, знаки ,  а также связанную с этим расстановку пределов интегрирования).

       Задача 1.1(k). Вычислить аналитически и на ЭВМ двойной и криволинейные интегралы первого и второго рода

  ,  , 

по указанным контурам c положительным направлением обхода, записав для каждой части контура параметрическое представление и соответствующие определенные интегралы, учитывая направление обхода.

Если точка движется по контуру , то вектор является касательным ( – вектор хорды), т. е. также касательный вектор, направленный по направлению обхода, (положительное направление обхода – область остается слева). При этом вектор повернут на 90˚ по часовой стрелке по сравнению с , т. е. является вектором внешней нормали при положительном обходе контура; вектор

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

является внешней единичной нормалью к .

Производная по нормали определяется равенством

.

Задача 1.2(k). Вычислить значения криволинейного интеграла

,

где – указанный для каждого варианта контур, точки , – соответственно внешняя, граничная и внутренняя точки (выбрать самостоятельно), – внешняя единичная нормаль к .

Отчет. Требуется (после краткой формулировки задания, ФИО в правом углу) записать параметрическое представление дуг заданного профиля; представить их графики; определить векторы внешних нормалей; записать подынтегральные функции интегралов, вычислить интегралы.

Дополнительные вопросы. 1) Доказать, что функция является гармонической при , а функция

гармоническая в   и в области  .

2) Доказать асимптотическое равенство

(рассмотреть разность  ).

Литература

и др. Методы вычислений (практикум). Краснодар, 2009.

Задание №3.  Аппроксимация, полные системы, задача Робена.

Задание №3.  Краевые задачи уравнения теплопроводности.

Решение 1-ой краевой задачи (1), (21), (3):

,        ,        ;                (1)

,                ;                         (21)

                                        (3)

и решение  2-ой краевой задачи (1), (22), (3):

,                ,         (22)

легко получить, если граничные функции ,  равны нулю, методом Фурье (разложением функций и решения по собственным функциям  щm соответственно 1-ой и 2-ой спектральной задачи оператора Лапласа). Пусть функция , определяется для варианта k криволинейными сторонами треугольника (см. [1], с. 14). Приближенное решение обозначим  .

Задача 2.1(k). Построить аналитическое решение методом Фурье при и и представить формулы коэффициентов Фурье –

задачи (1), (21), (3)  для нечетных вариантов k, 

задачи (1), (22), (3)  для четных вариантов;

вычислить 20 первых коэффициентов Фурье начальной функции , построить графики функций  (5, 10, 20, сравнить их).

Задача 2.2(k). Решить эти задачи для неоднородного уравнения теплопроводности при , где q=2 для нечетных номеров и q=4 для четных номеров ; построить графики функций .

Задача 2.3(k). Обратная теплопроводность.  Найти начальное распределение температуры в стержне, если в момент времени T>0  задано финальное распределение H(x) – указанная выше функция,  v(x, t) –  решение задачи:

    (4)

Рассмотрим метод простейшей регуляризации,  – малый положительный параметр:

 

с использованием разложения Фурье в случае ограниченных областей.

В данном случае  , и для искомых коэффициентов получаем краевую задачу для дифференциального уравнения 1-го порядка, решением которой будут  ,  собственные числа оператора Лапласа на  

Т р е б у е т с я:  для данного Т  (Т = 0.1) и выбранного решить обратную задачу (4), определить приближенно начальную функцию ,  для нее получить решение прямой задачи, вычислить погрешность   при разных

Задание № 4.  Уравнения Лапласа, Пуассона и бигармоническое.

Рассматриваются  краевые задачи:

,  (1)

,  .  (2)

,  .  (3)

Если в (2) граничные условия нулевые (однородные), то удобно использовать метод Фурье (метод разложения по собственным функциям); аппроксимацию решения обозначим , 

В частности, если h(x, y)=0,  D= (0, a)(0, b), то собственными функциями оператора Лапласа, образующими полную систему в , будут функции.

,

Задача 3.1(k). Вычислить нормирующие коэффициенты  . Для задачи (2) в прямоугольной области  D=(0,a)(0,b) при  h(x, y)=0 вычислить коэффициенты разложения решения по ортонормированной системе и получить аналитическое решение (в виде ряда), где для нечетных вариантов k и для четных вариантов k; функция H(x) для варианта k определяется сторонами S2, S3  криволинейного треугольника Qk ([1], с. 14).

Вычислить погрешность , представить график , для получить таблицу коэффициентов,.

Задача 3.2(k). Решить численно задачу (1), где , при , используя систему функций, (см.[1], задача 5.1); вычислить погрешность . Вычислить интеграл .

Задача 3.3(k). Решить численно задачу (3) с данными задачи 3.2, используя систему функций, см. [1], с. 28.

Отчет. Представить вместе с формулировками задач: представление решения и формулы коэффициентов , таблицу вычисленных коэффициентов, графики и , погрешности и для разных N (выбрать N так, что погрешности меньше 10-5), графики линий уровня функций , (физическая интерпретация: если , – функции тока,  то вершины треугольника – это источники и стоки).

З а д а н и е  № 5.

Решить краевые задачи  (1), (21), (3), (1), (22), (3),

,        ,        ;                (1)

,                ;                         (21)

,  .  (22 )

,                  (3)

методом Фурье,

.

Задача 4.1(k). Для номеров решить задачу  (1), (21), (3), разложением функций по синусам кратных дуг ().  Для номеров взять

Для номеров –

Функция  , , определяется криволинейными сторонами треугольника (см. [1], с. 14).

Записать в  аналитическом виде решение задачи (1), (21), (3) методом Фурье при ; выписать формулы для коэффициентов .

Выбрать N для приближенного решения  ,  построить графики функций ,  для некоторых  xj,  графики функций

  и график их суммы.

Сделать «анимацию» графиков , p=1, 2, …, при некотором малом h.

Для номеров решить задачу  (1), (22), (3), разложением функций по косинусам кратных дуг (). Для номеров взять Для номеров – 

Функция  , , определяется криволинейными сторонами треугольника (см. [1], с. 14).

Записать в  аналитическом виде решение задачи (1), (22), (3) методом Фурье при ; выписать формулы для коэффициентов .

Выбрать N для приближенного решения  ,  построить графики функций ,  для некоторых  xj, 

графики функций

  и график их суммы.

Сделать «анимацию» графиков , p=1, 2, …, при некоторых малых h.