Олимпиада ОмГУ по математике
Физико-математические специальности, первый курс
1. Кащей Бессмертный заточил Василису Премудрую в замок, расположенный на квадратном участке земли со стороной 2006м. Вокруг участка вырыт глубокий ров, в котором живут крокодилы. Внешний периметр рва образует квадрат со стороной 2026м, центры обоих квадратов совпадают, а стороны параллельны. Сможет ли Иван-царевич с помощью двух досок длиной 9,5м и шириной 0,5м вызволить Василису Премудрую из плена?
2. Известно, что 
, где 
- некоторый многочлен. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
3. Для каких непрерывных взаимно-однозначных положительных функций 
на 
обратное отображение 
совпадает с функцией 
?
4. Возрастающая последовательность 
состоит из положительных членов, и существуют постоянные 
и 
, такие что 
для всех 
. Докажите, что найдется такое 
, что 
при 
, и 
при 
.
5. Докажите, что биномиальный коэффициент 
делится без остатка на число 
.
6. Три различные пары вещественных чисел 
,
и 
являются решениями системы 
. Найдите величину 
.
7. Дан остроугольный треугольник 
. Предложите способ построения треугольника 
такого, что 
, 
, 
, а пары сторон 
и 
, 
и 
, 
и 
треугольника 
образуют равные углы со сторонами 
, 
и 
треугольника 
соответственно. Единственен ли такой треугольник?
8. Имеется два набора чисел 
и 
. Известно, что 
, 
, 
и в наборе 
имеется ровно одна перемена знака. Докажите, что уравнение 
имеет ровно один корень на интервале 
.
4.11.2006
Олимпиада ОмГУ по математике
Физико-математические специальности, старшие курсы
1. Пусть 
. Докажите, что найдется такое 
, что 
.
2. Найдите сумму ряда 
.
3. Докажите, что последовательность 
имеет конечный предел.
4. Охарактеризуйте гладкие функции 
, обладающие следующим свойством: для любой выпуклой функции 
композиция 
- тоже выпуклая функция.
5. Для каких непрерывных взаимно-однозначных комплекснозначных функций на проколотой плоскости 
, не обращающихся в нуль (т. е. со значениями в 
) обратное отображение 
совпадает с функцией 
?
6. Найдите сумму ряда
с точностью до 0.0001.
7. Функция 
четна, непрерывна на 
и 
. Найдите 
.
8. Имеется два набора чисел 
и 
. Известно, что 
, 
, 
и в наборе 
имеется ровно одна перемена знака. Докажите, что уравнение 
имеет ровно один корень на интервале 
.
9. Докажите, что система уравнений 
, где 
- целые числа при всех 
и
, имеет единственное решение 
.
10. Пусть комплексные числа 
таковы, что все корни уравнения 
лежат на окружности 
. Докажите, что все корни уравнения 
лежат на этой же окружности.
4.11.2006
Олимпиада ОмГУ по математике
Химические, экономические и гуманитарные специальности
1. Из 5 л молока производится 1кг творога. Затраты на производство 1л молока постоянны и составляют 4руб. Производство 1кг творога требует дополнительно 5руб. 1кг творога продается по 50руб за кг. На молокозаводе имеется 10000л молока. При какой максимальной цене молока выгодно производить только творог?
2. Кащей Бессмертный заточил Василису Премудрую в замок, расположенный на квадрат-ном участке земли со стороной 2006м. Вокруг участка вырыт глубокий ров, в котором живут крокодилы. Внешний периметр рва образует квадрат со стороной 2026м, центры обоих квадратов совпадают, а стороны параллельны. Сможет ли Иван-царевич с помощью двух досок длиной 9,5м и шириной 0,5м вызволить Василису Премудрую из плена?
3. Пусть 
. Докажите, что найдется такое 
, что 
.
4. Дана матрица 
. Найдите вектор 
, такой что 
.
5. Расстояние от дома до остановки транспорта, равное 
, студент прошел за время 
. Докажите, что в какой-то момент времени его ускорение было не меньше, чем 
.
6. Известно, что 
, где 
- некоторый многочлен. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
7. Три различные пары вещественных чисел 
,
и 
являются решениями системы 
. Найдите величину 
.
8. Функция 
четна и 
. Найдите 
.
9. Вычислите сумму ряда 
.
10. Имеется два набора чисел 
и 
. Известно, что 
, 
, 
и в наборе 
ровно одна перемена знака. Докажите, что уравнение 
имеет ровно один корень на интервале 
. 4.11.2006
