Четырехмерное пространство: фантастика или реальность? (стр. 2 )

Задачи.

1. Рассмотреть гипершар, гиперцилиндр, гиперконус, изучить их свойства и построение.

2. Изучить тему многомерности пространства в научной и фантастической литературе, искусстве.

2.  Гиперсфера и гипершар.

В четырехмерном пространстве как и в трехмерном, существуют геометрические тела - аналоги трехмерным: цилиндру, конусу и шару –гиперсфера, гиперцилиндр и гиперконус.

Рассмотрим гиперсферу и гипершар.

Чтобы познать свойства гиперсферы, будем исполь­зовать методы системного анализа для построения ее моделей. Модель гиперсферы будет считаться правиль­ной, если с ее помощью мы будем верно описывать свойства четырехмерной сферы. При построении мо­дели гиперсферы будем использовать метод аналогии и закономерности фигур низших размерностей.

В теоремах об объеме границ гиперсферы и гипе­робъеме гипершара выведем формулы для вычисления соответствующих величин. Покажем приме­нение полученных формул для вычисления объема границы гиперсферы и гиперобъем гипершара для конкретных числовых данных.

А) Определение гиперсферы и ее аналитическая модель.

Определение.

Гиперсферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек четырехмерного простран­ства, расположенных на данном расстоянии от дан­ной точки. Данная точка называется центром гипер­сферы, а данное расстояние — радиусом гиперсферы. Радиусом гиперсферы будем называть также и лю­бой отрезок, соединяющий центр гиперсферы с ее произвольной точкой.

Для того чтобы иметь представление о гиперсфе­ре, необходимо познать ее свойства. Некоторые свой­ства гиперсферы уже следуют из ее определения. Но для более полного изучения ее свойств будем исполь­зовать метод моделирования. Постараемся рассмот­реть гиперсферу с различных точек зрения, то есть построить ее всевозможные модели.

  Аналитическая модель гиперсферы

Получим уравнение гиперсферы в декартовой си­стеме координат, заданной в четырехмерном простран­стве. Пусть А (а; Ь; с; d) — центр гиперсферы, а В(х; у; z; t) — произвольная ее точка. В четырехмерном пространстве каждая точка однозначно опреде­ляется четырьмя координатами. По определению ги­персферы расстояние от ее центра до любой точки гиперсферы есть величина постоянная, равная ради­усу гиперсферы. Имеем АВ=R.

Расстояние между двумя точками С(x1; y1; z1; t1) и О(х2; у2 ;z2; t2 ) вычисляется по формуле

(1)

Подставив в формуле расстояния между двумя точками координаты точек А(а; Ь; с; d) и В(х; у; z;t) , учитывая, что АВ = R и, возводя левую и правую час­ти равенства в квадрат, получим уравнение гиперс­феры с центром в точке А(а; Ь; с; d) и радиусом R.

(2)

К данной формуле можно прийти, рассматривая уравнение аналогичных фигур в пространствах низ­ших размерностей. В трехмерном пространстве урав­нение трехмерной сферы имеет вид:

  (3)

В двумерном пространстве (на плоскости) уравне­ние окружности (двумерной сферы) записывается в виде:

(4)

Даже в одномерном пространстве (на прямой) мож­но зависать соответствующую формулу для одномер­ной сферы:

  (5)

Геометрически одномерная сферы состоит из двух точек, расположенных на равном расстоянии от точ­ки А (а) — центра одномерной сферы.

Если центр гиперсферы находится в начале коор­динат, то есть в точке О(0; 0; 0; 0), то уравнение ги­персферы имеет более простой вид:

(6)

Используя уравнение гиперсферы, можно решать различные задачи на принадлежность точки гипер­сфере, на нахождение ее внутри или вне гиперсферы, находить точки пересечения с другими геометриче­скими фигурами.

В качестве примера использования уравнения ги­персферы рассмотрим следующую задачу.

Дана гиперсфера с центром в точке А(2; 3; 4; 1) и радиусом R = 6. Требуется определить местоположе­ние точек В(3; 8; 5; 4), С(2; 10; 4; 9) и D(4; б; 5; 2) по отношению к гиперсфере.

Запишем уравнение данной гиперсферы

  (*)

Подставив координаты точки В(3; 8; 5; 4) в дан­ное уравнение, получим:

(3 - 2)2 + (8 - 3)2 + (5 - 4)2 + (4 - 1)2 = 62.

Произведем вычисления: 12 + 52 + 12 + З2 = 62.

  В итоге получим 36 = 36 — верное равенство, сле­довательно, точка В(3; 8; 5; 4) принадлежит гипер­сфере.

Подстановка координат точки С(2; 10; 4; 9) в ле­вую часть уравнения (*) даст следующий результат:

(2 - 2)2 + (10 - З)2 + (4 - 4)2 + (9 - 1)2  = 02 + 72 + 02 + 82 = 113 > 36.

Следовательно, точка С(2; 10; 4; 9) лежит вне ги­персферы.

Аналогично, подстановка координат D(4; 5; 5; 2)в левую часть уравнения (*) приведет к результату:

(4 - 2)2 + (5 - З)2 + (5 - 4)2 + (2 - 1)2 -= 22 + 22 + 12+ 12 = 10<36.

Следовательно, точка D(4; 5; б; 2) лежит внутри гиперсферы.

Б) Динамическая модель гиперсферы

Аналитическая модель гипесферы позволяет оп­ределять аналитические свойства гиперсферы. Нас больше интересует геометрическая форма гиперсфе­ры. Гиперсфера — фигура четырехмерная, поэтому увидеть ее всю со всех сторон человек не может. В трехмерном пространстве мы можем видеть только часть гиперсферы — сечение гиперсферы с трехмер­ным пространством. Что бы мы наблюдали, если бы в трехмерное пространство начала входить гиперсфе­ра? Обратимся к аналогии. Как воспринимали бы трехмерную сферу разумные существа, находящиеся в плоскости? Пусть трехмерная сфера начинает втор­гаться в их плоский мир. Вначале они увидели бы точку, которая, превратившись в окружность, будет продолжать увеличивать свой радиус. Когда радиус окружности станет равным радиусу трехмерной сфе­ры, окружность начнет уменьшаться, превратившись в точку, а затем исчезнет совсем.

Изобразить это наглядно можно в виде кадров по­следовательных сечений сферы с плоскостью через равные интервалы времени (рис. 3).

  •  •

Рис. 3

Аналогичную картину можно наблюдать, если в наше трехмерное пространство начнет входить четы­рехмерная сфера. В некоторой точке трехмерного про­странства появится точка, которая потом превратит­ся в сферу, постоянно увеличивающуюся в радиусе. После того как радиус трехмерной сферы станет рав­ным радиусу четырехмерной сферы, трехмерная сфе­ра начнет уменьшаться и, превратившись в точку, исчезнет совсем. Видя такую картину, можно утверждать, что мы наблюдатели  прохождение четырехмерной сферы через наше трехмерное пространство.

Изобразим этот процесс наглядно в виде простран­ственных трехмерных кадров последовательных сече­ний гиперсферы с трехмерным  пространством (рис. 4).

  •  •

Рис.4

В) Изображение гиперсферы

Изображением трехмерной сферы на плоскости является окружность с эллипсом, расположенным внутри окружности. Эллипс и окружность на изобра­жении имеют две общие точки. Окружность изобра­жает сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Эллипс изображает сечение сферы плос­костью, перпендикулярной первой плоскости и про­ходящей через центр сферы (рис. 5).

 

Рис.5

Аналогично получим изображение гиперсферы. Оно будет состоять из сферы и находящейся внутри нее меньшей сферы. Первая сфера — есть сечение гиперсферы трехмерным пространством, проходящим через сечение гиперсферы. Вторая сфера — сечение гиперсферы пространством, перпендикулярным пер­вому трехмерному пространству и также проходяще­му через центр. Хотя внутренняя сфера и изображе­на меньшим радиусом, фактически она имеет такой же радиус, как у первой сферы (рис. 6).

Рис. 6 

Г) Гипершар. Гиперобъем гипершара.

Граница трехмерной сферы двумерна, замкнута и искривлена по двум измерениям. Внутри трехмерной сферы содержится трехмерное тело, которое вместе с точками сферы образует трехмерный шар.

Аналогично граница гиперсферы трехмерна, зам­кнута и имеет кривизну, отличную от нуля по трем измерениям. Внутри гиперсферы находится четырех­мерное тело, которое вместе с точками гиперсферы образует четырехмерный шар (гипершар).

Определение. Гипершаром называется геометри­ческая фигура, состоящая из всех точек четырехмер­ного пространства, для которых верно неравенство ОХ ≤ R, где О — центр гипершара, R — его радиус, ОХ — расстояние от точки О до произвольной точки гипершара.

Сечением гиперсферы с трехмерным пространством является трехмерная сфера, а сечение трехмерного  пространства с гипершаром является трехмерным шаром.

Гиперобъем гипершара.

Так как гипершар является четырехмерной фигу­рой, то для него можно вычислить гиперобъем. Еди­ницами измерения гиперобъема являются: 1 мм4, 1 см4, 1 дм4, 1 м4, 1 км4. Получим формулу для вы­числения гиперобъема гипершара. Для этого докажем теорему о гиперобъеме гипершара.

Теорема. Если R — радиус гипершара, W — ги­перобъем гипершара, то

Доказательство. Сечением гипершара с трехмер­ным пространством является трехмерный шар. В трех­мерном пространстве, проходящем через центр гипер­шара, рассмотрим плоскость, проходящую через центр этого сечения. В этой плоскости введем систему ко­ординат ХОУ с началом, совпадающим с центром ги­першара (рис. 7).