Четырехмерное пространство: фантастика или реальность? (стр. 3 )

Рис. 7

Если гипершар пересекать параллельными трех­мерными пространствами, перпендикулярными оси ОХ, то в каждой точке сечения на оси ОХ можно поставить в соответствие функцию V(х), выражающую объем сечения. Нам необходимо найти вид функции  V(х). В сечении мы имеем шар, объем которого мож­но вычислить по формуле:

  (7)

Выразим R через х. Сечением плоскости ХОУ с шаром является окружность, уравнение которой имеет вид:

  (8)

Из уравнения окружности выразим у. Получим:

.(9)

В формуле (8) R — величина переменная. Подстав­ляем вместо R значение у.

Получим:

  (10)

Для вычисления объема гипершара нужно вычис­лить интеграл от функции V(х) с пределами интегри­рования a= - R и b=R

Данный интеграл будем вычислять методом заме­ны переменной. Пусть х = R sin t  , откуда dх = R сos t dt. Подынтегральное выражение примет вид:

Найдем пределы интегрирования для переменной t:

a) –R= R sin t, -1= sin t, t=--;

b)  R= R sin t,  1= sin t, t=

Интеграл принимает вид:

       

Для вычисления данного интеграла преобразуем подынтегральное выражение, дважды используя фор­ мулу понижения степени косинуса cos2 

Перейдем к вычислению интеграла: 

,

Подставим найденное значение интеграла в выражение для W:

Итак, мы доказали, что если R — радиус гипер­шара, то его гиперобъем вычисляется по формуле

В качестве примера вычислим гиперобъем гипер­шара, имеющего радиус, равный 2. Для вычисления гиперобъема гипершара воспользуемся полученной формулой.

(см4)

Д) Объем границы гиперсферы

Гиперсфера — четырехмерная фигура, а ее грани­ца — трехмерная замкнутая фигура. Получим фор­мулу для вычисления объема границы гиперсферы. Для этого докажем теорему об объеме границы ги­персферы.

Теорема. Если R — радиус гиперсферы, V — объем границы гиперсферы, то V =

Доказательство. Гиперсфера является границей гипершара. Гиперобъем гипершара можно рассмат­ривать как гиперобъем гипермногогранника, вписан­ного в гипершар, при условии, что количество гипер­граней гипермногогранника будет стремиться к бесконечности. Если соединить все точки гиперграней вписанного гипермногогранника с центром гипершара, а то его гиперобъем будет состоять из гиперпирамид, вершины которых лежат  в центре гипершара, а основания являются гиперграни гипермногогранника. Гиперобъем гиперпирамиды вычисляется по формуле

,

Где Vосн  - объем гиперпирамиды, h – высота гиперпирамиды. Гипербъем гипермногогранника, вписанного в гипершар, будет иметь вид

,

где n - количество гиперпирамид, Vi – j, объем основания гиперпирамиды, hi—высота гиперпирамиды.

Переходя к пределу при , высота гиперпирамиды будет стремиться к радиусу гипершара, а сумма всех объемов оснований гиперпирамид будет стремиться  кобъему границы гипершара. Тогда объем гипершара будет иметь  вид

Иначе гиперобъем гипершара можно записать в виде  . Приравнивая правые части двух последних равенств, получим

.

Из последнего равенства выразим переменную V. Получим  . Итак, мы доказали, что если R – радиус гиперсферы, то объем границы гиперсферы вычисляется по формуле .

В качестве примера рассмотрим объем границы гиперсферы, имеющей радиус, равный 5см. Подста­вим значение радиуса в формулу для вычисления объема границы гиперсферы. Получим

V =

Запишем полученные соотношения о гиперсфере и гипершаре в виде таблицы.

Фигура	Размерность	Граница	Мера границы	Формула	Мера фигуры	Формула
Шар	Трехмерная	Сфера	Площадь		Объем
Гипершар	Четырехмерная	Гиперсфера	Объем		Гиперобъем
Т  ШЬ Л

3. Гиперконус и гиперцилиндр.

Рассмотрим гиперконус и гиперцилиндр как тела, ограниченные гиперконической и гиперцилиндрической поверхностями соответственно. Возьмем в четырехмерном пространстве шар. Пусть шар будет параллелен гиперплоскости хуz

Рис. 8

У него три взаимно-перпендикулярные оси соответственно параллельны осям х, у, z. Имеется произвольная точка S. На она имеет координаты х, у, z те же, что и центр шара. Координата t точки S отличается от координаты t центра шара четырехмерного пространства. Если все точки гиперсферы (гиперповерхность, ограничивающая гипершар) соединить прямыми с S, то образуется поверхность гиперконуса. Такая гиперповерхность представлена на наглядном чертеже на всех координатных гиперплоскостях хуz, xyt, xzt, zty, а также на координатных плоскостях ху, xz, xt, yz, yt. Так, если отрезок от точки S до основания гиперконуса расположен перпендикулярно гиперповерхности xyz, то он вырождается и на xyz совпадает с центром основания (гиперсферы). Как известно, в четырехмерном пространстве геометрический объект вполне опр

На рис.9 а показан гиперконус своими проекциями на двух координатных гиперплоскостях и одной проекцией на координатной плоскости ху. еделяется тремя проекциями.

Рис. 9

На рис.9б, в даны проекции гиперконуса на аксонометрическом и ортогональном чертежах. Точка гиперконуса S называется вершиной гиперконуса, сфера — его направляющей поверхностью, а прямые, соединяющие точку S с точками сферы, — образующими гиперповерхности. Задание гиперконуса его направляющей сферой и вершиной позволяет определить положение каждой точки, лежащей на заданной поверхности. Для построения такой точки необходимо предварительно построить одну из образующих поверхностей, а на ней искомую точку.

На рис.9в построена образующая l, а на этой образующей — точка А. Аналогично может быть построена любая другая точка, лежащая на поверхности гиперконуса. Любая параллель сферы и вершина S определяют конус, принадлежащий рассматриваемой гиперповерхности. Аналогично может быть представлен любой другой трехмерный конус (как объем), принадлежащий тому же гиперконусу. Проекции гиперконуса на координатные плоскости определяют очерк гиперконуса на эти плоскости. В качестве направляющей поверхности гиперконуса была выбрана сфера частного положения, лежащая параллельно координатной гиперплоскости хуz. Коническая же гиперповерхность общего вида может быть задана любой двумерной направляющей поверхностью общего вида и точкой, лежащей вне этой поверхности — вершиной гиперповерхности.