Контрольные вопросы к экзамену по дисциплине

« Вычислительная математика» УЭМ1

1. Абсолютная и относительная погрешность приближённых чисел. Правила записи приближённых чисел. Связь количества ВЗЦ с относительной погрешностью числа.

Пример: а) а* = 1,73010301030(3), да* = 0,(17)%. Записать а* и а.

б) а = 1/3, да* = 0,02178(35). Записать а* и а.

в)Определить количество ВЗЦ, если да* =0,01, да* = 0,17213(13), да* = 0,301%.

2. Погрешность арифметических операций сложения и вычитания.

Пример: Вычислить ДS, дS

S = a*+ b* + c*

a* = 11,017102, b* = 10,31040502105, c* = +21,33

a* = 11,017102, b* = 10,31040502105, c* = -21,33.

3. Погрешности арифметической операции умножения.

Пример: Вычислить ДП*, дП

П = а Ч в Ч с

a* = 11,017102, b* = 10,31040502105, c* = +21,33

4. Погрешности арифметической операции деления.

Пример: Вычислить ДD*, дD

a* = 11,017102, b* = 10,31040502105, c* = +21,33

5. Разные подходы к учёту погрешностей.

Пример: Вычислить и оценить погрешность различными способами

6. Погрешность вещественной функции одной переменной.

Пример: Оценить Дf и дf.

, если x1 = 0,31021 и х2 = 11,0303.

7. Погрешность функции многих переменных.

Пример: Определить влияние коэффициентов уравнения х2 + вх + с = 0 на значения корней при в = 5 Ч 104, с = 3,12.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

8. Погрешность неявной функции.

Пример: Определить влияние коэффициентов уравнения х2 + вх + с = 0 на значения корней при в = 5 Ч 104, с = 3,12.

9 Корректность вычислительной задачи. Примеры корректных и некорректных задач.

10. Устойчивость вычислительной задачи. Примеры. Устойчивость задачи вычисления определённого интеграла и задачи численного дифференцирования.

11*. Устойчивость задачи решения системы линейных уравнений на примере системы (2 Ч 2).

12. Представление чисел в компьютере. Машинные константы. Пример: Записать в памяти компьютера а = 300010, в = 101,17203105, с = 0,02237825.

13. Особенности машинной арифметики. Погрешности арифметических операций в компьютере. Пример: Вычислить на пятиразрядном «компьютере» (в двоичной арифметике), сравнить с точным результатом:

а) 1/1000 + 1/1000+ 1/1000 + 2;

б) 2 + 1/1000 + 1/1000+ 1/1000;

в) 2 Ч 1/1000;

г) 2 : 1/1000.

14. Обусловленность вычислительной задачи. Обусловленность задачи вычитания близких чисел. Обусловленность задачи вычисления кратных корней. Пример: Вычислить коэффициент обусловленности

y = 2 – x x1 = 1,99 , х2 = 1,999999.

15. Обусловленность вычислительной задачи.

Пример: Вычислить коэффициенты обусловленности корней

Р10( х ) = (х – 1)(х – 2) … (х –10) = а10х10 + а9х9 + … +а1х + а в зависимости от а9.

16. Обусловленность вычислительной задачи.

Пример: Вычислить коэффициенты обусловленности корней

Р10( х ) = (х – 1)(х – 2) … (х –10) = а10х10 + а9х9 + … +а1х + а в зависимости от а0.

17. Обусловленность задачи вычисления значений вещественной функции. Обусловленность вычисления элементарных функций, если х → 0, х → 1, х → ∞.

18. Обусловленность задачи вычисления определённого интеграла.

Пример: Вычислить коэффициент обусловленности

, .

19. Неустойчивость вычислительных алгоритмов. Неустойчивость вычисления алгоритма .

20. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления. Чувствительность алгоритма вычисления частичной суммы ряда. Пример: Вычислить погрешность суммирования в порядке возрастания и в порядке убывания слагаемых на компьютере пятиразрядной сеткой .

21. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления. Чувствительность алгоритма вычисления ех. Пример: Вычислить погрешность значения ex для x=-10 на компьютере пятиразрядной сеткой.

23. Лемма о сходимости одношаговых итерационных процессов. (доказательство).

24. Обусловленность задачи вычисления простого корня. Радиус неопределённости. Пример: Найти радиус неопределённости корней уравнения

(х2 –2x) = 0.

25. Обусловленность задачи вычисления кратного корня. Пример: Найти радиус неопределённости корней уравнения

(х2 –2x)2 = 0.

26. Метод бисекции. Пример. Вычислить больший корень уравнения (х – cos2x)2 = 0

методом бисекции с точностью е = 10-1

27. Сходимость метода простой итерации (доказательство).

28. Критерий окончания итерации процесса (доказательство).

Пример: Построить итерационную функцию для нахождения корней уравнения (х – cos2x)2 = 0 на отрезке [12;17].

29. Построение итерационной функции. Пример: Построить итерационную функцию для уравнения 3х4+х3-2х2=0

30. Обусловленность метода простой итерации.

31. Метод Ньютона. Пример: Найти с точностью е = 10-2 корень уравнения 3х – х2 = 0 методом Ньютона.

32. Модификации метода Ньютона. Пример: Вычислить с точностью е = 10-1 больший корень уравнения 3х – х2 =0 с помощью модифицированных методов. х(0) = 1.

33. Методы вычисления корня уравнения со сверхлинейной сходимостью. Пример: Вычислить с точностью е = 10-1 больший корень уравнения

3х – х2 =0 с помощью модифицированных методов. х(0) = 1.

Опрос по теме 1.1

1 Дайте определение следующих понятий:

Абсолютная погрешность приближённых чисел относительная погрешность приближённых чисел правила округления приближенных чисел: по дополнению и усечением Правила записи приближённых чисел Значащие цифры Верно значащие цифры Связь количества ВЗЦ с относительной погрешностью числа Погрешность арифметических операций сложения Погрешность арифметических операций вычитания . Погрешности арифметической операции умножения» . Погрешности арифметической операции деления Правило Крылова . Погрешность вещественной функции одной переменной Погрешность функции многих переменных Погрешность неявной функции

1 Абсолютные погрешности величин x и y равны и Абсолютная погрешность суммы будет равна

0,5 0,3 0,2 −0,3

2 Абсолютные погрешности величин x и y равны и Абсолютная погрешность разности будет равна

3 Для величин заданы их относительные погрешности Относительная погрешность произведения равна

0,0001 0,0000002 0,0002 0,008

4 Для величин x, y и z заданы их абсолютные погрешности Тогда абсолютная погрешность величины будет равна

0,001 0,011 0,008 0,013

5 Для величин x = 1 и y = 2 известны абсолютные погрешности и Абсолютная погрешность произведения равна

0,007 0,011 0,000005 0,006

6 Для величин x = 10 и y = 20 известны относительные погрешности и Относительная погрешность произведения равна

0,000015 0,008 0,002 0,011

7 Для величин x = 2 и y = 1 известны относительные погрешности и Относительная погрешность разности равна

0,0002 0,004 0,001 0,003

8 Для величин x = 2 и y = 5 известны относительные погрешности и Относительная погрешность частного равна

0,007 0,00001 0,0025 0,003

9 Для величин x = 2 и y = 8 известны относительные погрешности и Относительная погрешность суммы равна

0,003 0,03 0,018 0,016

10 Для величин x = 5 и y = 1 известны абсолютные погрешности и Абсолютная погрешность частного равна

0,0035 0,0015 0,0005 0,000005

11 Для величин x и y заданы абсолютные погрешности и Тогда абсолютная погрешность разности равна

−1,51 1,49 1,51 −1,49

12 Абсолютные погрешности величин x и y равны Д(x) = 0,1 и Д(y) = 0, Абсолютная погрешность суммы Д(x + y) будет равна

0,3 −0,3 0,5 0,2

13 Формулы для относительной погрешности арифметических действий над числами имеют вид

	-
	-
	-	,

14 Формулы, выражающие абсолютную погрешность арифметических действий над числами через абсолютную погрешность исходных чисел, имеют вид:

	-
	-
	-

15 Абсолютные погрешности величин x и y равны ∆x = 0,4 и ∆y =0, Абсолютная погрешность разности ∆(x – y) будет равна __ (укажите число с точностью до 0,1)

Ответ.

16 Для величин x = 1 и y = 2 известны абсолютные погрешности ∆(x) = 0,001 и ∆(y) = 0,00 Абсолютная погрешность произведения ∆(x∙y) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

17 Для величин x = 10 и y = 20 известны относительные погрешности д(x)=0,005 и д(y) = 0,00 Относительная погрешность произведения д(x∙y) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

18 Для величин x = 2 и y = 1 известны относительные погрешности д(x) = 0,001 и д(y) = 0,00 Относительная погрешность разности д(x – y) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

19 Для величин x = 2 и y = 5 известны относительные погрешности д(x)=0,005 и д(y) = 0,003 Относительная погрешность частного д(x ∕ y) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

20Для величин x = 2 и y = 8 известны относительные погрешности д(x)=0,01 и д(y) = 0,003 Относительная погрешность суммы д(x + y) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

21 Для величин x = 2, y = 1, z = 2 заданы их относительные погрешности д(x)=0,005; д(y) = 0,001; д(z) =0,00 Относительная погрешность произведения д(x ∙ y ∙z) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

22 Для величин x = 5 и y = 1 известны абсолютные погрешности ∆(x) = 0,001 и ∆(y) = 0,000 Абсолютная погрешность частного ∆(x/y) равна __ (укажите число с точностью до 0,0001)

Ответ.

23 Для величин x = 5 и y = 10 заданы их абсолютные погрешности ∆(x) = 0,0002 и ∆(y) = 0,000 Абсолютная погрешность частного ∆(x/y) равна __ (укажите шесть знаков числа после запятой)

Ответ.

24 Для величин x и y заданы абсолютные погрешности Д(x) = 0,01 и Д(y) =1, Тогда абсолютная погрешность разности Д(x−y) равна __(укажите число с точностью до 0,01)

Ответ.

25 Для величин x, y и z заданы их абсолютные погрешности ∆(x) = 0,008 ; ∆(y) = 0,004 ; ∆(z) = 0,001 . Тогда абсолютная погрешность величины ∆(x+y− z) равна __ (укажите число с точностью до 0,001)

Ответ.

Опрос по теме 1.2

1.2 В компьютере могут быть представлены числа

рациональные целые в логарифмической среде иррациональные

1,3В компьютере существуют следующие способы представления чисел в форме

с использованием логических переменных с фиксированной точкой с плавающей точкой с использованием буквенных кодировок

1.4 Представить числа для ЭВМ в режиме с плавающей точкой в нормализованном виде

125,7	-	0,1257∙10-4
1,275	-	0,1257∙103
127,5∙103	-	0,1275∙101
0,00001257	-	0,1275∙106

1.5 При вычислениях различают следующие виды погрешностей

дифференциальная погрешность

абсолютная погрешность

относительная погрешность

комплексная погрешность

1.6 Укажите соответствие между видом погрешности и ее определением

погрешность, обусловленная конечной азрядностью чисел в компьютере, в результате чего в компьютере производится округление чисел при выполнении арифметических операций	-	абсолютная погрешность величины X
величина , зависящая от X, про которую известно, что , где – точное значение величины X.	-	вычислительная погрешность
величина, определяемая условием , где – точное значение величины X.	-	относительная погрешность величины X

1.7 Укажите характерные особенности погрешностей при решении задачи на ЭВМ:

погрешность математической модели	-	неустранимая
погрешность численного метода	-	обусловлена округлением результатов
вычислительная погрешность	-	регулируемая

1.8 Число 125,7 в ЭВМ для режима с плавающей точкой в нормализованном виде имеет следующее представление

0,01257∙104

0,1257∙103

1,257∙102

125,7

1,9 Этапы решения задачи на ЭВМ.

составление и отладка программы	-	запись алгоритма на алгоритмическом языке. выбор исходной, промежуточной и результирующей информации.
расчеты, анализ результатов	-	моделирование реального процесса на эвм с использованием математической модели
вычислительный эксперимент	-	проверка соответствия полученных данных формулировке физической модели

Опрос по теме 1.5

1 Дано нелинейное уравнение cos(2x) – 2x + р ∕ 4 = 0 и начальное условие x0 = р ∕ Первое приближение метода Ньютона x1 будет равно

р ∕ 2 5р ∕ 16 3р ∕ 16 3р ∕ 4

2 Дано нелинейное уравнение x2- sin(x)+1= 0 и начальное приближение x0 = 0. Первое приближение x1 в методе Ньютона будет равно__ (укажите число с точностью до целого )

Ответ.

3 Дано уравнение x = sin(x) + 1 и начальное приближение x0 = р ⁄ Первое приближение x1 метода итераций равно__ (укажите число с точностью 0,1)

Ответ.

4 Дано уравнение x3 – x = 0 и начальное приближение x0 = Результат одного шага метода Ньютона равен

x1 = 2 x1 = 1 x1 = −1 x1 = 0,5

5 Даны уравнения: A) x = 2sin(x); B) x = sin(0,5x); C) x = 5cos(x); D) x = 3cos(0,1x). Метод итераций будет сходиться для уравнений

A и B B и C A, C и D B и D

6 Для решения нелинейного уравнения второй порядок сходимости имеет метод

Ньютона итераций половинного деления секущих

7 Задано нелинейное уравнение F(x) = 0, для которого известно, что . Тогда точность вычисления корня на k – ой итерации (x* − точное значение корня) будет меньше, чем

8 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение x0 = Один шаг метода Ньютона в первом приближении дает

9 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение x0 = Один шаг метода Ньютона в первом приближении дает

10 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение x0 = 0. Один шаг метода Ньютона в первом приближении дает

11 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение x0 = Один шаг метода Ньютона в первом приближении дает

12 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение . Один шаг метода простой итерации в первом приближении дает

13 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение x0 = 0. Один шаг метода простой итерации дает

x1 = 2,5 x1 = 1 x1 =2 x1 =3

14 Задано нелинейное уравнение вида и начальное приближение x0 = 0. Один шаг метода простой итерации в первом приближении дает

x1=1 x1=3 x1=2/3 x1=0

15 Задано нелинейное уравнение вида ln(x) + x – 0,5 = 0 и начальное приближение x0 = Один шаг метода Ньютона дает

x1 = 1,25 x1 = 1,5 x1 = 0,75 x1 = 0,5

16 Задано нелинейное уравнение вида x = 0,2(x3 – 2x) и начальное приближение x0 = Один шаг метода простой итерации дает

x1 = 0,2 x1 =-0,2 x1 =0,5 x1 = 1

17 Задано нелинейное уравнение вида x = x3 – 2x и начальное приближение x0 = Один шаг метода простой итерации дает

x1 = 1 x1 = 4 x1 = 2,5 x1 = 10

18 Задано нелинейное уравнение вида x = x3 – 2x и начальное приближение x0 = Один шаг метода простой итерации дает

x1 =-1 x1 = 2,5 x1 = 1 x1 =3

19 Задано нелинейное уравнение вида x = x3 – 2x+1 и начальное приближение x0 = Один шаг метода простой итерации дает

x1 =0 x1 = 0.3 x1 = 1 x1 =-0,3

20 Задано нелинейное уравнение вида x =0,1(x3 – 2x) и начальное приближение x0 = Один шаг метода простой итерации дает

x1 = -0,25 x1 =0,33 x1 = 1 x1 =-0,1

21 Заданы нелинейное уравнение вида x3 + 2x – 1 =0 и отрезок [0;1], на котором находится корень. Один шаг метода половинного деления дает отрезок

[0;0,5] [0,5;1] [0,25;1] [0,25;0,75]

22 Заданы нелинейные уравнения вида x3 – x + cos(x) = 0; x = cos3 (x); x = ln(x) + Вид, удобный для итераций имеют следующие уравнения

второе и третье второе первое первое и второе

23 Заданы уравнения: A) ; B) ; C) ; D) . Вид удобный для итераций, имеют уравнения

B, C и D A и B A и D C и D

24 Значительная потеря точности при выполнении арифметических операций на ЭВМ происходит при __ близких чисел

делении больших вычитании сложении умножении близких

25 К прямым методам решения систем линейных уравнений относятся методы

26 Метод Ньютона для решения одного нелинейного уравнения сходится

27 Один шаг метода половинного деления для уравнения для начального отрезка [0;4] дает следующий отрезок

[0;1] [0;2] [1,5;2] [2;4]

28 Один шаг метода половинного деления для уравнения для начального отрезка [0;2] дает следующий отрезок

[1,5 ; 2] [1;2] [0;1] [2;4]

29 Один шаг метода половинного деления для уравнения для начального отрезка [0;4] дает следующий отрезок

[1,5 ; 2] [2;4] [0; 1] [0;2]

30 Один шаг метода половинного деления для уравнения для начального отрезка [-1;1] дает следующий отрезок

[-0,5;0,5] [-1;0] [0;1] [-0,25;0,25]

31 Один шаг метода половинного деления для уравнения x2−2= 0 для начального отрезка [0; 2] дает следующий отрезок

[1,5 ; 2] [1; 2] [0,5 ; 1] [0; 1]

32 Один шаг метода половинного деления для уравнения x2−5= 0 для начального отрезка [0;3] дает следующий отрезок

[0,5 ; 1] [0;1,5] [0; 1] [1,5; 3]

33 Операции над числами в компьютере выполняются точно, если эти числа являются

целыми действительными иррациональными двоичными

34 Отделить корни при решении нелинейного уравнения F(x) = 0 – это значит

для каждого корня указать интервал, в котором он будет единственным отделить положительные корни от отрицательных расставить корни в порядке их возрастания для каждого корня указать область притяжения

35 Порядок сходимости метода Ньютона при решении нелинейного уравнения равен числу __ (ответ дайте словами)

Ответ.

36 Скорость сходимости итерационного метода решения одного нелинейного уравнения зависит от

погрешности округления, возникающей на каждом шаге метода алгоритма применяемого метода вида уравнения не зависит ни от чего

37 Сопоставьте каждому из методов решения нелинейного уравнения условие его сходимости:

метод половинного деления	-	Сходится всегда для непрерывных функций
метод итераций	-	Сходится при для уравнения
метод Ньютона	-	Сходится при для уравнения

Укажите соответствие между видом погрешности и ее определением

погрешность, обусловленная конечной разрядностью чисел в компьютере, в результате чего в компьютере производится округление чисел при выполнении арифметических операций	-	абсолютная погрешность величины X
величина , зависящая от X, про которую известно, что , где – точное значение величины X.	-	вычислительная погрешность
величина, определяемая условием , где – точное значение величины X.	-	относительная погрешность величины X

38 Уравнение записано в виде, удобном для итераций x = 0,5cos(2x) + р ∕ 8. Первое приближение метода итераций x1 для начального приближения x0 = р ∕ 4 равно

р ∕ 8 3р ∕ 8 3р ∕ 4 р ∕ 4

39 Условия сходимости метода итераций для уравнения x = ц(x) заключается в том, что