Методика определения выражения общего члена арифметического ряда способом последовательного понижения порядка полинома

УДК 517.5

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ ОБЩЕГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОГО РЯДА СПОСОБОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ПОЛИНОМА

, доцент БГА РФ

Как отмечалось в [1], арифметический ряд - го порядка имеет последовательных рядов разностей, причём последние - е разности равны между собой. Последующие разности порядка и более равны нулю и не представляют интереса. Номер постоянных разностей указывает порядок полинома образующего данный арифметический ряд.

Так, например, ряд вида

(1)

имеет три последовательных разности

Номер последних значений разностей указывает порядок полинома , который является общим членом ряда . В данном случае этот полином имеет вид:

  (2)

Третья последовательность разностей имеет постоянное значение (в данном случае равное 12), что можно записать в виде: 

Эта прямолинейная зависимость от величины показана на рисунке 1.

Рис. 1 Зависимость третьих разностей от номера по порядку .

Очевидно, что в самом общем случае график полинома (2) в зависимости от аргумента представляет собой кубическую параболу и лишь третья производная от полинома (2) даёт так же постоянную величину при изменении аргумента . Приравняв значение третьей производной  от полинома и третьей разности  , получим:

Таким образом, последнее слагаемое полинома (2) может быть вычислено для всех значений , начиная от 0, что и представлено ниже.

	0	1	2	3	4	5
	0	2	16	54	128	250

Если численные значения , приведённые выше, вычесть из соответствующих слагаемых исходного ряда (1),  то получится новый ряд, общий член которого описывается полиномом второго порядка

  (3)

а сам новый ряд записывается в виде:

  (4)

Для нового ряда находятся первые и вторые разности

а так же вторая производная  полинома (2)

Из равенства находится значение коэффициента ,

Точно так же получается ряд для отыскания коэффициента :

откуда аналогично находится его величина: .

Величина получается аналогично предыдущему из ряда: Можно заметить, что операция отыскания тривиальна, т. к. его значение всегда равно первому члену ряда.

С учётом полученных значений коэффициентов выражение общего члена ряда (2) окончательно записывается в виде:

Подстановка в этот полином значений от 0 и далее позволяет воспроизвести слагаемые ряда (1). Из приведённых рассуждений нетрудно подметить и записать обобщённую формулу для отыскания коэффициентов полинома арифметического ряда в виде:

Таким образом,  для отыскания последнего коэффициента полинома, образующего арифметический ряд, достаточно знать порядок полинома и численную величину постоянной (ненулевой) разности. Значение коэффициента , вычисленное по этим данным, позволяет рассчитать численные значения составляющей -го порядка полинома арифметического ряда и исключить их из слагаемых исходного ряда. Эта операция, повторенная раз (с каждым последующим рядом и его полиномом) позволяет определить все коэффициенты полинома арифметического ряда. 

При вычислении разностей арифметических прогрессий высоких порядков проще пользоваться их выражениями, записанными в функции от членов арифметического ряда:

Здесь не трудно заметить, что численные коэффициенты в последних формулах — это коэффициенты бинома Ньютона целых степеней, а их сумма в каждой разности равна нулю. 

Способ последовательного понижения порядка полинома позволяет достаточно быстро и без громоздких вычислений определять выражение общего члена ряда, а применительно к последовательности частичных сумм ряда и выражение его суммы.