Тема 1. Введение (стр. 3 )

В пунктах 1-3 выполняются проверка и сводка направлений. В 4-м пункте главной задачей по измеренным углам и исходным сторонам вычислить боковые стороны треугольника:

На больших расстояниях измеряются углы в сферическом треугольнике ∆АВС. Сумма углов в сферическом треугольнике:

– сверический избыток.

С тем чтобы выявить невязку треугольника из каждого угла извлекают избытка - , тогда между суммой углов и 180⁰ уже будет равно невязке.

Формула вычисления сферического избытка:

5-й пункт: привидения результатов измерения к центрам знаков.

По известным формулам вычисляются поправки за центрировки и редукцию в триангуляции. В линейных сетях элементы центрировки и редукции (Cm) вычисляются по формулам:

6-й пункт: приблеженные координаты вычисляются по известным нам формулам вычисления координат:

1) В прямой и угловой засечке.

2) В линейной засечке.

3) В обратной засечке.

4) В полярных координатах и т. д..

8-й пункт: целью редукционных вычислений является, приведение измерений на эллипсоид, а с эллипсоида на плоскость проекции Гаусса-Крюгера. В связи с этим вычисляются следующие редукции или привидения:

1) Редукция за отклонение отвесной линии.

2) Поправка в направление за высоту наблюдения цели над эллипсоидом. При наведении или визировании на высокую цель, высота (Н), которая над эллипсоидом, направление совпадает с направлением угла.

3) Поправка за переход от нормального сечения и геодезической линии. Геодезическая линия – кратчайшее расстояние на кривой поверхности.

4)Поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии в проекции Гаусса-Крюгера. Это последняя поправка уже перехода на плоскость.

Тема 5. Уравнительные вычисления

1. Коррелатный способ

1.1Сущность способа

1.2 Виды условных уравнений. Число условных уравнений

1.3 Решение условных уравнений по методу наименьших квадратов

2. Параметрический способ

2.1 Сущность способа

2.2 Виды некоторых уравнений поправок

2.3 Решение уравнений поправок по методу наименьших квадратов

1. Коррелатный способ

Коррелатный способ легко понять, если его назвать «способ условных уравнений» или «способ условий». Сущность этого способа заключается в следующем: если бы нам были известны истинные значения измеренных величин, то в геодезической сети выполнялись бы определённые геометрические условия.

Пусть в треугольнике известны истинные значения углов х1, х2,х3, тогда в нём должно удовлетворяться условие:

х1+ х2+ х3-180є=0

Известны измеренные значения, в таком случае геометрическое условие не выполняется.  х1, х2,х3 отягощены случайными ошибками и не равны истинным значениям.

х1+ х2+ х3-180є=W

W-невязка, а в уравнительных вычислениях она заменяется на «свободный член»

Задачей уравнительных вычислений является найти такие поправки в измеренные значения х1, х2,х3, чтобы компенсировать невязки и получить результат с наивысшей точностью.

V х1,V х2,V х3-поправки.

х1+ V х1+ х2+ V х2+х3+ V х3-180є=0

V х1+V х2+V х3+ W=0

W= х1+ х2+ х3-180є - условное уравнение

В общем виде условное уравнение можно записать так

ц1(V х1V х2…Vxn)+w1=0

ц2(V х1V х2…Vxn)+w2=0

цr(V х1V х2…Vxn)+wr=0

r-число условных уравнений, оно равно числу избыточных уравнений в геодезическом построении.

Например, в треугольнике, в котором измерены 3 угла, имеется одно избыточное измерение, потому что третий угол можно вычислить по двум измеренным:

х3=180є-( х1+ х2)

Систему условных уравнений решают по методу наименьших квадратов и находят такие поправки, чтобы точность окончательных результатов была максимальна.

Вопрос 1.2

На примере триангуляции ранее рассматривали условные уравнения:

- фигур,

- полюсные,

-базисные,

-дирекционных углов;

В полигонометрии возможны условные уравнения полигонов, координатные по осям х и у.

Число условных уравнений равно числу избыточных измерений.

Вопрос 1.3

Пусть а1V1+а2V2+а3V3+w1=0

  b1 V1+b2 V2+b3 V3+w2=0

ai, bi-коэффициенты условных уравнений при поправках  Vi/

wi-свободный член.

Будем считать, что измерения имеют веса pi. Уравнивание по методу наименьших квадратов сводится к постановке задачи на условный экстремум или минимизации функционала Лагранжа.

Ф= ∑ piViІ+2k1(а1V1+а2V2+а3V3+w1)+2k2(b1 V1+b2 V2+b3 V3+w2)=min

k1, k2 - коэффициенты Лагранжа или коррелаты.

Неизвестными являются V1, V2, V3. Для  их вычисления берут производные по поправкам и приравнивают их к нулю.

=2p1V1+2k1a1+2k2b1=0

=2p2V2+2k1a2+2k2b2=0

=2p3V3+2k1a3+2k2b3=0

;

;

;

Подстановкой ,, в условные уравнения получают нормальные уравнения:

;

;

Система имеет вид после подстановки ,, во второе условное уравнение, получаем второе нормальное уравнение:

;

;

Система нормальная т. к. в ней число уравнений равно числу неизвестных. Получают , и вычисляют поправки  ,,.