Тема 1. Введение (стр. 4 )

В матричном виде решение выглядит так:

В=;  ;  ;  ;

;

;

; 

;

, где (единичная матрица);

;

;

Подставим вектор B в условное уравнение, составим нормальное уравнение:

;

;

, умножаем на получаем:

W=0;

;

W;

;

;

.

2.Сущность параметрического способа уравнивания.

Сущность способа покажем на примере линейной засечки.

Пункты А, В, С являются исходными. Р – определяемый пункт с неизвестными координатами.

Из математики известно, что для определения t неизвестных необходимо составить t уравнений.

Линейная засечка позволяет составить 2 уравнения:

Эти уравнения устанавливают связь между измеренными величинами S1, S 2  и известными величинами х и у. Неизвестные величины называются еще  параметрами, а эти уравнения параметрическими уравнениями связи.

Однако на практике измеряют более чем 2 стороны и составляют уже, например, систему трех уравнений с двумя неизвестными:

Мы имеем переопределенную систему уравнений потому, что число уравнений больше числа неизвестных.

Для получения однозначного решения вводится дополнительное условие, которое позволяет получить решение однозначное и наиболее точное.

Чаще всего используют условие минимума взвешенной суммы квадратов поправок измерений. Тогда задача формулируется так: даны координаты исходных пунктов ХА, УА, ХВ, УВ, ХС, УС, …, S1, S2, SX3, …, x0, y0.  Для удобства введем следующие переменные поправки  в стороны v1,v2, v3… и поправки в приближенные координаты неизвестных величин x, y, т. е. чтобы решение можно было записать так:

х=х0+х

у=у0+у

Для того чтобы получить однозначное решение необходимо потребовать выполнение следующих уравнений связи:

Эти уравнения связи решаются при условии минимума взвешенной суммы квадратов поправок в измерениях.

– решение по методу наименьших квадратов

Задача имеет нелинейный вид

В математике не существует общего алгоритма решения нелинейных уравнений. И такие системы решаются способами приближений и на каждом приближении решается система линейных уравнений соответствующая данной системе нелинейных уравнений. 

Для этого исходную систему нелинейных уравнений приводят к линейному виду. Для этого каждое уравнение системы разлагается в ряд  Тэйлора, ограничиваясь первыми степенями. Покажем это на первом уравнении

y= f(+)

y= f() +

Тогда очевидно что

Или

+l, где l – l=

Тогда систему линейных уравнений записывают в линейном виде

Такое решение называется уравнивание параметрическим способом. Покажем алгоритм уравнивания параметрическим способом на примере двух неизвестных.

Пусть имеется система трех: