Рабочая программа дисциплины Математический анализ для направления 38.03.01 Экономика (квалификация (степень)) бакалавр) (программа составлена в соответствии с требования ФГОС ВО по направлению 38.03.01 Экономика (зарегистрировано в Минюсте России 30 ноября 2015г № 000)

  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ДЕРБЕНТСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра экономических дисциплин

Дербент - 2015 г

Пояснительная записка

Дисциплина «Математический анализ» разработана в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению 38.03.01 – Экономика (квалификация (степень) бакалавр).

Цели и задачи дисциплины

Цели изучения дисциплины:

- получение базовых знаний и формирование основных навыков по математическому анализу, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности;

- развитие логического мышления;

- формирование необходимого уровня математической подготовки для понимания других математических дисциплин, изучаемых в рамках профиля « экономического направления.

Задачи дисциплины:

- овладение студентами основными математическими понятиями математического анализа;

- умение решать типовые задачи, приобретение навыков работы со специальной математической литературой;

- умение использовать математический аппарат для решения теоретических и прикладных задач экономики.

Дисциплина «Математический анализ» является базовой дисциплиной математического цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (ФГОС ВО) по направлению «Экономика» (бакалавриат).

Дисциплина «Математический анализ» базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса «Математика» или соответствующих математических дисциплин среднего профессионального образования, использующих соответствующие количественные методы.

Методы математического анализа в экономике позволяют оценивать тенденции, которые могут проявиться в меняющейся ситуации; решать функциональные и дифференциальные уравнения (для получения значений неизмеренных величин); находить наилучшие, наиболее выгодные решения.

2. Требования к уровню освоения дисциплины

Дисциплина «Математический анализ» обеспечивает инструментарий формирования (в совокупности с другими дисциплинами математического цикла проекта ФГОС ВО) следующих общекультурных и профессиональных компетенций бакалавра экономики:

       В результате освоения данной дисциплины студент  должен обладать следующими общекультурными компетенциями:

- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);

- способен понимать и анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые философские проблемы (ОК-2);

- способен понимать движущие силы и закономерности исторического процесса; события и процессы экономической истории; место и роль своей страны в истории человечества и в современном мире (ОК-3);

- способен анализировать социально-значимые проблемы и процессы, происходящие в обществе, и прогнозировать возможное их развитие в будущем (ОК-4);

- умеет использовать нормативные правовые документы в своей деятельности (ОК-5);

- способен логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-6);

- готов к кооперации с коллегами, работе в коллективе (ОК-7);

- способен находить организационно-управленческие решения и готов нести за них ответственность (ОК-8);

- способен к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);

- способен критически оценивать свои достоинства и недостатки, наметить пути и выбрать средства развития достоинств и устранения недостатков (ОК-10);

- осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-11);

- владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);

- владеет одним из иностранных языков на уровне не ниже разговорного (ОК-14);

Профессиональные компетенции

- способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);

- способен на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов, (ПК-2);

- способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);

аналитическая, научно-исследовательская деятельность

- способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

  В результате освоения содержания дисциплины «Математический анализ» студент должен обладать следующими компетенциями:

знать:

- основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач;

- применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач.

Уметь:

- применять методы теоретического и экспериментального исследования для решения  экономических задач (часть компетенции, соответствующая методам математического  анализа);

владеть:

- навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;

- методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов (часть компетенции, соответствующая методам математического анализа).

3. Формы и методы проведения занятий

В качестве ведущих форм используются традиционные: лекции, практические и лабораторные занятия. Каждая из перечисленных форм занимает свое место и играет свою роль в учебном процессе.

Объем часов

Всего часов	252
Аудиторные	72
Лекции	36
Практические	36
СРС	126
Экз	54

4. Распределение часов по темам и видам занятий

Общая трудоёмкость дисциплины составляет 7 зачётных единиц.

№	Наименование тем дисциплины	Всего часов	Лекции	Практич	СРС
1	Функции.	14	2	2	10
2	Предел. Непрерывность функции.	16	4	2	10
3	Производная.	20	4	4	12
4	Приложение производной.	16	2	4	10
5	Функции нескольких переменных.	16	4	2	10
6	Функции нескольких переменных в задачах на оптимизацию.	14	2	2	10
7	Неопределенный интеграл.	18	2	4	12
8	Определенный интеграл.	16	4	2	10
9	Приложение определенного интеграла.	20	4	4	12
10	Числовые ряды.	16	2	4	10
11	Степенные ряды.	16	4	2	10
12	Обыкновенные дифференциальные уравнения	16	2	4	10
Экзамен	54
ИТОГО	252	36	36	126

5. Содержание дисциплины по разделам

В процессе изучения дисциплины предполагается проведение лекционных и практических занятий, самостоятельная работа, выполнение одной (двух) контрольной  работы и сдача экзамена.

       ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

Функция. Понятие о множествах. Действительные числа и числовые множества. Абсолютная величина действительного числа. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотонные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. Применение функций в экономике. Интерполирование функций.

Предел. Непрерывность  функций. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина. Предел функции. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции. Бесконечно малые и их основные свойства. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов. Непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. Сравнение бесконечно малых.

       ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Производная.  Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.  Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Понятие о дифференциалах высших порядков. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике. Задача о распределении налогового бремени.

Приложение производной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Применение производных к исследованию функций и построению графиков. Достаточное условие экстремума. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Простейшая модель рынка: функции спроса и предложений.

       ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Функции нескольких переменных. Понятие о функциях нескольких переменных.  Окрестность точки. Внутренние и граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Изолированные и предельные точки множества. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.  Частные производные, полный дифференциал. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции. Производная сложной функции.

Функции нескольких переменных в задачах на оптимизацию. Экстремум функции нескольких переменных. Метод наименьших квадратов в задачах регрессионного анализа. Построение линейного уравнения регрессии. Оценка коэффициентов регрессии. Понятие о парном коэффициенте корреляции и его оценка.

       ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной. Свойства  неопределенного интеграла. Таблица неопределённых интегралов. Способы интегрирования: замена переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.

Определенный интеграл. Понятие об определённом интеграле и его свойства. Теорема о среднем определенного интеграла.  Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.  Замена переменной в определенном интеграле  Интегрирование по частям. Свойства определенного интеграла. Несобственные интегралы и особенности его вычисления.

Приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции, объёмов тел вращения, длины дуги. Приложения интегралов к задачам с экономическим содержанием. Связь между функциями дохода и предельного дохода, функции издержек и предельных издержек. Закон роста капитала при известной плотности инвестиций.

       РЯДЫ.

Числовые ряды. Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Достаточные критерии сходимости числовых рядов с неотрицательными членами:  первый и второй признаки сравнения, признак  Даламбера в предельной форме, интегральный признак, признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости cтепенного ряда. Почленная интегрируемость и дифференцируемость степенного ряда на интервале сходимости. Ряды Тейлора (Маклорена). Разложения функций e^x, sin⁡x, cos⁡x,(1+x)^б, ln⁡〖(1+x)〗  в ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.

       ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Виды дифференциальных уравнений.  Общее и частное решение уравнений.  Задача Коши. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные уравнения первого порядка, уравнения  в полных дифференциалах.  Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.  Системы дифференциальных уравнений.

6. Содержание практических и лабораторных занятий

Тематика практических и лабораторных занятий        Технология

проведения занятия        количество часов        Литература

Функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функций. Сложная и обратная функции. Основные  элементарные функции и их графики.        Групповое обсуждение        

Предел. Непрерывность функции. Непрерывность функции в точке. Предел функции в точке. Предел суммы и разности двух функций, произведения и частного двух функций. Первый и второй  замечательные пределы. Точки разрыва функции.  Достижение наибольшего и наименьшего значений функций.        Дискуссии, решение учебных задач        

Производная функции. Правило дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. Производные основных элементарных функций.  Производные сложных и обратных тригонометрических функций. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Дифференциал функции.        Решение практических задач, индивидуальный опрос в конкретных ситуациях

       

Приложение производных в задачах с экономическим содержанием. Локальный экстремум функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение производных к исследованию функций и построению графиков. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.        Групповое обсуждение, экспресс опрос по теме занятий. Построение графиков с помощью ЭВМ        

Функции нескольких переменных (ФНП). Область определения ФНП, непрерывность и  пределы. Частные производные и техника дифференцирования ФНП высших порядков. Экстремум функции двух переменных и его необходимое условие. Полный дифференциал ФНП.        Решение практических задач        

Построение эмпирических формул. Метод наименьших квадратов в задачах регрессионного анализа. Построение линейного однофакторного уравнения регрессии. Оценка коэффициента корреляции.        Построение уравнений регрессии с использованием функций Excel        

Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых интегралов. Способы интегрирования: замена переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.        Индивидуальное решение задач и консультирование        

Определенный интеграл. Свойства определённого интеграле. Формула Ньютона-Лейбница.  Интеграл с переменным верхним пределом. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.        Групповые дискуссии и обсуждение конкретных ситуаций.        

Практическое  приложение определенного интеграла. Вычисление площади плоской криволинейной трапеции, объёмов тел вращения, длины дуги кривой, вычисление поверхности вращения интегралов. Использование собственных интегралов в задачах  предельного дохода, и предельных издержек.        Решение задач с использованием компьютерной технологии.        

Числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные критерии сходимости числовых рядов с неотрицательными членами:  первый и второй признаки сравнения, признак  Даламбера в предельной форме, интегральный признак, признак Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.        Индивидуальные консультации студентов в процессе решения учебных задач        

Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение  в ряд Маклорена бесконечно дифференцируемых функций

с использованием базовых разложений:  е^х, sin x, cos x, 〖(1+х)〗^б,  ln(1+ x) и почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Приближённое вычисление с помощью рядов.        Групповой разбор алгоритмов представления функций в ряд с последующей проверкой результатов на компьютере.        

Дифференциальные уравнения. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.  Линейные  неоднородные уравнения первого порядка, метод вариации постоянной. Уравнения  в полных дифференциалах.  Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.         Групповое решение уравнений.        

Организация самостоятельной работы

  Основная цель самостоятельной работы студента при изучении дисциплины – закрепить теоретические знания, полученные в ходе лекционных занятий, а также сформировать практические навыки решения задач по темам курса.

  Самостоятельная работа студента в процессе освоения дисциплины «Математический анализ» включает в себя:

  – разбор и изучение теоретического материала по пособиям и конспектам лекций; 

  – выполнение контрольных работ;

  – подготовку к защите контрольных работ;

  – подготовку к компьютерному тестированию;

  – индивидуальные и групповые консультации по наиболее сложным вопросам  дисциплины;

  – подготовка к экзамену.

  На самостоятельную работу студентов отводится 77 ч учебного времени для студентов бакалавриата направления «Экономика».

Тема дисциплины        Форма самостоятельной работы        Трудоёмкость

I СЕМЕСТР

Функции.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий: 

Предел. Непрерывность функции.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Производная.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Приложение производной.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Контрольная работа                

Функции нескольких переменных.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Функции нескольких переменных в задачах на оптимизацию.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Экзамен        Подготовка к экзамену

Неопределенный интеграл.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий: 

Определенный интеграл.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Приложение определенного интеграла.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Контрольная работа                

Числовые ряды.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Степенные ряды.        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Обыкновенные дифференциальные уравнения        Работа с учебной литературой

Выполнение домашних заданий:

Подготовка к тестированию        

Экзамен        Подготовка к экзамену        

Всего за II семестр                

Фонд оценочных средств

Экзаменационные вопросы

Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции. Преобразование графиков. Применение функций в экономике. Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела. Замечательные пределы. Непрерывность функции Виды разрывов. Свойства непрерывных функций. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Примеры. Определение производной, ее геометрический смысл. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные показательной и логарифмической функций. Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике. Теорема Ролля, ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл. Теорема Коши. Теорема Лагранжа как частный случай теоремы Коши. Правило раскрытия неопределенностей вида  0/0,  ∞/∞  (правило Лопиталя). Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференциал суммы, произведения и частного функций.  Дифференциал сложной функции. Производная и дифференциалы высших порядков. Приложение производной в экономической теории. Функции нескольких переменных. Основные определения. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции двух переменных. Производная по направлению. Градиент. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Понятие двойного интеграла. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов. Функции нескольких переменных в экономической теории. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования (замены переменной, по частям). Привести примеры. Интегрирование простейших рациональных дробей. Привести примеры. Интегрирование тригонометрических функций. Привести примеры. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Использование определенного интеграла в экономике. Дифференциальное уравнение: основные понятия (определение, порядок уравнения, решение). Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Примеры. Однородные уравнения первого порядка. Примеры. Линейные уравнения первого порядка. Примеры. Уравнение Бернулли. Примеры. Уравнения в полных дифференциалах. Примеры. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка: y^''=f(x, y^' ) и y^''=f(y, y^'). Примеры. Линейные однородные уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение. Общее решение уравнения. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Различные формы правой части уравнения f(x)=P_m (x), f(x)=〖e^(∝x)∙P〗_m (x). Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения имеет вид f(x)=P_m (x)∙cosвx+Q_x (x)∙sinвx. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения имеет вид f(x)=e^(∝x) (P_m (x)∙cosвx+Q_x (x)∙sinвx). Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике. Понятие ряда. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. Сравнение рядов с положительными членами. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды. Интервал сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложения функций в ряды.

Приложение

Выпускник, освоивший программу бакалавриата (38.03.01 – Экономика), должен обладать следующими общепрофессиональными компетенциями (ОПК):

- способностью решать стандартные задачи профессиональной деятельности на основе информационной и библиографической культуры с применением информационно-коммуникативных технологий и с у четом основных требований информационной безопасности (ОПК-1)

- способностью осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения профессиональных задач (ОПК-2)

- способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ОПК-3);

Способностью находить организационно-управленческие решения в профессиональной деятельности и готовность нести за них ответственность (ОПК-4)

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература

Баврин, математика: учебник / , . – М.: ВЛАДОС, 2013. – 400 с. Высшая математика для экономистов: учеб. пособие для вузов / [и др.]; под ред. . – М.: ЮНИТИ, 2014. – 471 с. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред. . – М.: Изд. «Астрель»; Изд. «АСТ», 2012. – 495 с. Красс, математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / , . – 2-е изд., испр. – М.: Дело, 2013. – 688 с. Кудрявцев, курс математического анализа. В 2 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: учебник / . – 3-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2012. – 400 с. Кудрявцев, курс математического анализа. В 2 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: учебник / . – 3-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2012. – 424 с. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под ред. . – М.: ИНФРА-М, 2013. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. T. 1: учеб. для втузов / . – М.: Интеграл-Пресс, 2012. – 544 с. Пискунов, и интегральное исчисления. В 2 т. T. 1: учеб. для втузов / . – М.: Интеграл-Пресс, 2012. – 416 с. Практикум  по высшей  математике для экономистов. /Под ред. . – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 423 с. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие /под ред. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2013.  - 575 с. Шипачев B. C. Высшая математика: учебник / .- 7-е изд., стер. -  М.: Высш. школа, 2012. – 478 с.

Дополнительная литература

Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и практикум / Под ред. .– М.: Юрайт-издат, 2012. Данко, математика в упражнениях и задачах: в 2-х частях: учеб. пособие  для втузов / , , – Ч. 1. – М.: Высшая школа,2013. Данко, математика в упражнениях и задачах: в 2-х частях: учеб. пособие  для втузов / , , – Ч. 2. – М.: Высшая школа, 2012. Колесников, курс математики для экономистов: учеб. пособие / . – М.: ИНФРА-М, 2011. – 208 с.

Интернет ресурсы

1.        www.book.ru

2.        www.e.lanbook.com

3.        www.library.ru

Периодические издания

Журнал «Математический анализ» Журнал «Математика. Вычислительные науки» Журнал «Экономика и математические методы».