Исследование пиксельного временного сигнала с использованием кратнорегрессионных псевдоспектров

Рассмотрим схему накопления пиксельных разностей, описанную в работе [2]. Пусть яркость пикселя в точке изображения с произвольными координатами в -й момент времени равна . Авторегрессионная формула обновления аккумулятора с параметром временного усреднения будет иметь вид

(5)

Тогда накопленная сумма в аккумуляторе в точке будет равна

(6)

Предположим, что на вход исходно нулевого авторегрессионного фильтра (5), начиная с некоторого момента, в течение достаточно длительного времени поступает сигнал интенсивности , т. е. . Тогда выражение для будет иметь вид

(7)

Определим такой параметр временного усреднения, чтобы через кадров отклик фильтра гарантированно принимал значение равное доле сигнала .

(8)

Отсюда получаем для :

(9)

Таким образом, есть такое значение параметра временного усреднения , при котором через кадров в аккумуляторе накопится сумма, равная . В то же время значение n здесь можно назвать β-длиной памяти или просто длиной памяти фильтра с соответствующим параметром усреднения .

При таком значении коэффициента накопления значение отклика фильтра в текущий момент времени определяется выражением

(10)

Графики для значений , при различных значениях для приведены на рис. 7.

Рис. 7. Графики аккумулятора при различных значениях .

Таким образом, параметр временного усреднения , определенный по формуле (9),  фактически играет роль некоторого параметра насыщения функции отклика фильтра. Он позволяет судить о том, через какое время накопленная сумма в аккумуляторе фильтра станет равной .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Согласно (10) также обладает следующим свойством кратности:

(11)

В силу (11) разность откликов фильтров с кратными параметрами сглаживания

(12)

будет обладать следующим важным свойством:

(13)

Рассмотрим поведение разности откликов фильтров с кратной памятью. Пусть , а . Тогда согласно формуле (13) разность значений аккумулятора с памятью и аккумулятора с памятью в момент времени определяется выражением

(14)

На рис. 8 показано поведение разности аккумуляторов в зависимости от времени . Длительность сигнала равна 100.

Рис. 8. Псевдоспектр: разности аккумуляторов при и .

Как видно, учетверенная разность кратных аккумуляторов является выпуклой функцией по на отрезке действия сигнала с максимумом, равным (если данный максимум достигается). Соответствующий максимум разности отклика авторегрессионных фильтров с кратной памятью достигается в точке .

Таким образом, поведение разности авторегрессионных фильтров первого порядка с кратной длиной памяти напоминает спектральное разложение сигнала, точнее – его вейвлет-разложение. Назовем «кратнорегрессионным псевдоспектром» набор разностей откликов авторегрессионных фильтров первого порядка (5) с кратными характеристиками длины памяти, задаваемыми последовательностью степеней двойки: 1, 2, 4, 8, … (см. рис. 8). Такой псевдоспектр позволяет качественно и количественно исследовать как продолжительность, так и амплитуду входного временного сигнала типа «меандр».

Если максимум разности откликов был последовательно достигнут для всех фильтров с длиной памяти ≤ N, а для фильтра с n = N+1 предсказанный максимум сигнала достигнут не был, это значит, что постоянный входной сигнал имел длину 2N кадров, после чего начал убывать или был как-то иначе резко изменен.

Аналогичным образом можно сделать вывод и о величине сигнала. Поскольку ,

следовательно, для всех , для которых был достигнут максимум:

(15)

для всех , для которых был достигнут максимум.

Ожидаемое значение максимума легко найти, например для n = 1, и далее сравнивать с ним значение разности аккумуляторов для других значений до тех пор, пока максимум в точке перестанет совпадать с максимумами в предыдущих точках .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4