Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по дисциплине Математика

МИНИСТЕРСТВО общего и профессионального образования

свердловской области

Государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Свердловской области

«Белоярский многопрофильный техникум»

(ГАОУ СПО СО БМТ)

  МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

для  специальности среднего профессионального образования

08.02.01. Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

г. Заречный, 2014 г.

  СОГЛАСОВАНО 

  На заседании МК 

  Общеобразовательного,

  ОГСЭ и ЕН цикла 

  Протокол  № __ от ______2014 г.

  Председатель МК

  ____________ 

Автор: , преподаватель (ГАОУ СПО СО БМТ)

Оглавление

Введение	4
1. Методические указания по темам: «Элементы линейной алгебры», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»	5
2. Методические рекомендации по выполнению контрольной работы	6
3. Справочный материал к выполнению 1 блока контрольной работы по теме «Элементы  линейной алгебры»	7
3.1. Матрицы	7
3.2. Линейные операции над матрицами	8
3.3. Определители	9
3.4. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера	10
3.5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными при помощи обратной матрицы	11
4. Справочный материал к выполнению 2 блока контрольной работы по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»	13
4.1. Определение функции нескольких переменных	13
4.2. Частные производные ФНП	13
4.3.  Полное приращение и полный дифференциал ФНП	14
4.4.  Производные ФНП высших порядков	15
4.5.        Частные производные ФНП, заданной неявно	16
4.6.        Производная сложной ФНП. Полная производная	17
5. Задание контрольной работы	18
Рекомендуемая литература	20

Введение

Основной формой обучения студентов-заочников математике является самостоятельная работа студентов над учебным материалом: чтение учебников, решение типовых задач с проверкой правильности решения, выполнение контрольных работ.

Настоящее пособие предназначено для студентов 1 курса заочной формы, обучающихся по специальности СПО 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

В пособии содержатся методические указания к изучению теоретического материала и рекомендации по выполнению 1 блока контрольной работы по теме «Элементы линейной алгебры» и 2 блока «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», а также ссылки на список рекомендуемой литературы.

В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны:

- ознакомиться с основами линейной алгебры (действия над матрицами, вычисление определителей), научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера и при помощи обратной матрицы;

- изучить основы векторной алгебры (линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их приложения);

- знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные, полный дифференциал и др.;

- уметь находить частные производные для явно и неявно заданной ФНП, частные производные высших порядков и полную производную для сложной ФНП.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольной работы по перечисленным темам, и решения примерного варианта работы, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.

Методические указания по темам:

«Элементы линейной алгебры», «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

       В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольной работы и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением контрольной  работы рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

                                                                                       Таблица 1.

№ задачи	Содержание (темы)	Литература
1	Матрицы. Операции над матрицами	[1], гл. I, §§1; [2], гл.10, §§ 1; [3], ч.1, гл. IV, № 000-403, 414, 415
2	Определители. Обратная матрица. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера  и с помощью обратной матрицы	[1], гл. I, §§ 2, 3.1, 3.2, 4.1, 4.3; [2], гл.10, §§ 2-4; [3], ч.1, гл. I, № 000, 211, 217, 219, 225-227; [4], гл.7, № 20-25, 38-43
3	Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов	[1], гл. II, §§ 5-8;  [2], гл.9, §§ 1-4, 6-8; [3], ч.1, гл. II, № 000, 248, 256-266, 284; [4], гл.10, №37, 47, 48, 51, 72, 73, 77, 83-84
4	Функции нескольких переменных (ФНП), их частные производные, полное приращение и полный дифференциал. Производные  ФНП высших порядков. Свойство смешанных производных высших порядков	[1], гл. IX, §§ 43.1, 44.1-44.3; [3], гл. VIII, §§ 1, 3, 5, 7, 12; [5], гл. VIII, № 000-1195, 1210-1211, 1214-1217, 1228, 1232-1236, 1245; [7], гл. 12, № 1-8, 34-40, 67-72
5	Дифференцирование ФНП, заданных  неявно	[1], гл. IX, §§ 44.8;  [3], гл. VIII, §§ 11; [5], гл. VIII, № 000, 1288, 1289, 1291, 1293, 1294
6	Сложные ФНП.  Частные производные сложных ФНП.  Полная производная ФНП	[1], гл. IX, §§ 44.6;  [3], гл. VIII, §§ 10; [5], гл. VIII, № 000, 1257, 1258; [7], гл. 12, № 23-29

Методические рекомендации

по выполнению контрольной работы

Контрольная работа  для студентов-заочников 1 курса специальности 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» содержит 5 заданий, охватывающих материал по теме «Элементы линейной алгебры» и 5 заданий, охватывающих материал по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

Перед выполнением контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом, необходимым для успешного решения контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует внимательно, не торопясь выполнять задания, подробно расписывая их решения.

Критерии оценивания:

За каждое выполненное задание – 1 балл.

Если задание выполнено частично, т. е. верен ход решения, но неверен результат – 0,5 балла.

5 – 6 баллов – 3 (удовлетворительно)

7 – 8 баллов – 4 (хорошо)

9 – 10 – 5 (отлично)

0 – 4 балла – 2 (неудовлетворительно)

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради и хранится образовательным учреждением в течение 5 лет. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям.

Справочный материал по темЕ

«Элементы  линейной алгебры»

Матрицы

Матрицей размерности  m × n  называется прямоугольная таблица, состоящая из  m·n  элементов (m строк и n столбцов):

Am×n  =,  где aij – элементы матрицы,

i = 1,2,…, m –  номер строки,  j = 1,2,…, n –  номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например,  буквой  А.

Некоторые виды матриц:

нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю; при  n  = 1  матрица-столбец:  X = ; при  m  = 1  матрица-строка:  Y = ; при  m = n  квадратная матрица:  An×n = .

               У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a11  и  ann ) и побочную диагональ.

       Примеры квадратных матриц:

единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой

  стоят единицы, а остальные элементы – нули): 

E =;

2) квадратная матрица второго порядка: ;

3) квадратная матрица третьего порядка: .

       

               Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

Am×n  =  Bm×n  ⇔  aij = bij (i = 1,2,…, m;  j = 1,2,…, n).

Линейные операции над матрицами

               Умножение матрицы A на число k:                        

B = k⋅A=,

или, в краткой записи:

B = k⋅A  ⇔  bij  = k⋅aij  (i = 1,2,…, m;  j = 1,2,…, n). 

               Сложение (вычитание) матриц A и B одинаковой размерности:

Cm×n = Am×n  ±  Bm×n  ⇔  cij­ = aij ± bij  (i = 1,2,…, m;  j = 1,2,…, n). 

       Произведение матриц  Am×n и Bn×k:

Cm×k  = Am×n ⋅ Bn×k 

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj  (i = 1,2,…, m;  j = 1,2,…, k).                

       Формулу (23) легко запомнить, как правило умножения «строка на столбец»: произведение матриц Am×n и Bn×k  есть матрица Cm×k, у которой элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В.

       Замечание. Перемножать можно только соответственные матрицы А и В,  т. е.число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

Если задан многочлен , то матричным многочленом  называется выражение

,

где  А – квадратная матрица, и  Е – единичная матрица той же размерности, что и  А.  Значением матричного многочлена является матрица.

Определители

       Определитель второго порядка (определитель квадратной матрицы второго порядка):

det A == a11 a22 – a12 a21­.                        

       Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка):

det A = 

       Для краткости определитель обозначают: |A|  или  Д.

       Минором элемента aij определителя  называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и  j-го столбца (обозначается Mij).

       Алгебраическим дополнением элемента aij определителя (обозначается Aij) называется число:

Aij = (–1)i+j⋅ Mij.

               Определитель третьего порядка можно вычислить, используя его разложение по 1-й строке:

, 

или, в краткой записи:

,

т. е. определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Аналогично можно записать разложение определителя по любой другой строке или столбцу.

Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера 

Пусть дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными :

                         

(коэффициенты aij  и свободные члены bj  для  i = 1, 2, 3,  j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел   называется решением системы (28), если в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения системы обращаются в тождества.

       Систему (28) можно переписать в матричном виде:

,  или  AX = B,

где  A – это матрица коэффициентов при неизвестных,  Х – столбец неизвестных,  В – столбец свободных членов:

 

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

 

Определитель Д называется главным определителем системы (28). Вспомогательные определители Д1, Д2 и Д3 получаются из Д заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (28) и оно выражается формулами:

                       

       Формулы (30)  называются формулами Крамера.

Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при помощи обратной матрицы 

Присоединенной (союзной) матрицей к квадратной матрице

А= называется матрица

,

где – алгебраические дополнения элементов определителя матрицы А.

Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если выполнено условие:  , где Е – единичная матрица той же размерности, что и  А. 

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда квадратная матрица А – невырожденная, т. е..

Чтобы найти обратную матрицу , необходимо:

а) проверить невырожденность матрицы  А, вычислив определитель detA;

б) найти союзную матрицу А*  к матрице  А;

в) найти обратную матрицу по формуле:

.

Если систему линейных алгебраических уравнений (28) переписать в матричном виде  AX = B, то ее решение можно получить матричным способом, т. е. при помощи обратной матрицы:

,                                

где  – обратная матрица для данной матрицы А.

4. Справочный материал по теме

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

4.1. Определение функции нескольких переменных

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных  x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

Обозначается:  z = f (x, y) или  z = z (x, y).

Пример. .

Аналогично определяются  функции трёх и более переменных.

Примеры. – функция трёх переменных;

– функция n переменных.

Общее название: функции нескольких переменных (ФНП).

4.2. Частные производные ФНП

Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

– это частная производная функции z по аргументу x;

– это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример. ⇒

4.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным приращениями аргументов и , называется выражение .

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.

Если обозначить – расстояние между близкими точками и (х, у), то – это определение непрерывности ФНП на языке приращений.

Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)∈D, то она называется непрерывной ФНП в области D.

       Функция z = f (x, y), полное приращение Δz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно и , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно , называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.

Если , где –бесконечно малые при , то полный дифференциал функции z = f (x, y) выражается формулой: , или:

                                       

(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: Δх = dx, Δy = dy).

Из определения полного дифференциала следует его связь с полным приращением: при малых и полное приращение функции Δz примерно равно ее полному дифференциалу: с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно .

Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки M(x0, y0), в которой он вычисляется, так и от приращений и .

4.4.  Производные ФНП высших порядков

Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности непрерывные частные производные первого порядка и . Так как и являются функциями тех же аргументов x и y, то их можно дифференцировать по x и по y. При этом возможны следующие 4 варианта:

– эти частные производные называются частными производными второго порядка от функции z (x, y).

Частные производные и называются смешанными частными производными второго порядка.

Пример. Дана ФНП .  Вычислим все её частные производные второго порядка.

Основное свойство смешанных частных производных: если функция z = f (x, y) и её частные производные , , и определены и непрерывны в точке (x, y) и некоторой её окрестности, то в этой точке =, то есть смешанные частные производные при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.

Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):  и , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:

.                                        

Пример. Дано: . Найти и .

Здесь . По формулам (2) находим:

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:

.

Производная сложной ФНП. Полная производная

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной  t  в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

.                                

Здесь – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;  – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме  t. При нахождении зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

5. задания для выполнения контрольной работы

Задание 1.  Даны квадратная матрица А, m=3,n=3

                               

Требуется:

1). Найти произведение  5*(A).

2). Транспонировать матрицу.

3).Найти определитель матрицы любым известным способом.

Задание 2.  Даны две матрицы А  и В

и

Найти произведение матриц А*В

Задание 3. Найти определитель квадратной матрицы двумя способами

 

Задание 4. Даны две матрицы А и В

  и

Требуется:

1). Найти сумму матриц А+В

2). Найти разность матриц А-В

Задание 5. Найти определитель квадратной  матрицы А

 

Задание 6.  Дана функция y = cos2x*(3x-5)

  Требуется:

1) найти производную сложной функции 1 порядка

2) найти производную 2 порядка

Задание 7.  Дана функция y = tg(x – 5х2)

Требуется: найти производную сложной функции

Задание 8.  Дана функция y =  

Требуется: найти производную сложной функции

Задание 9.  Дана функция y = сtg(1+5х2)+2х4

Требуется: найти производную сложной функции

Задание 10.  Дана функция y = 7х3-2cos2x

  Требуется:

1) найти производную функции 1 порядка

2) найти производную 2 порядка

Рекомендуемая литература

1. Письменный, лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 /  . –М.: Айрис-пресс,  2003. – 288 с.

2. Письменный, лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /  . –М.: Айрис-пресс: Рольф,  2002. – 256 с.

3. Пискунов, и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / .– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

4. Шипачев, математика: учебник для вузов / .– М. : Высш. шк., 2007.– 479 с.

5. Данко, математика в  упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / , , .– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.

6. Данко, математика в  упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / , , .– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

7. Шипачев, по высшей математике / .– М. : Высш. шк., 2001.– 304 с.

8. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики: учебное пособие для втузов. / [и др.], под ред. . –  М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.