Ну вот и добрались мы, пожалуй до одного из самых сложных заданий ЕГЭ по математике части В. Почему сложного? Да потому, что по статистике, в этом задании допускается масса ошибок среди выпускников. Постараюсь объяснить как работать с этими заданиями и не допускать ошибок.
Сначала разберем аналогию графика функции и графика производной функции:
На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. Как пользоваться этой схемой? Очень просто: в момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает, и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает. Давайте на примерах разберем как можно использовать эту схему для решения задач ЕГЭ по математике:
Решение:
Необходимо найти количество точек экстремума функции на промежутке от минус 6 до 9, точки экстремума - это точки минимума и максимума. В задаче дан не график функции (иначе мы просто посчитали бы сколько на этом промежутке максимумов и минимумов), а график производной функции. Смотрим на схему и ищем аналогию: точки экстремума на графике функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с нулем, на нашем графике данного промежутка такая точка одна - в точке с координатой 7, поэтому ответ: 1 (одна точка).
Разберем похожий пример:
Решение:
Задача очень похожа на предыдущую, отличие заключается только в том, что в прошлой надо было найти количество точек экстремума, а в этой саму точку экстремума. Итак, точки экстремума графика функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с осью Х, такая точка одна и равна она -3.
В следующей задаче разберем как найти количество не просто экстремумов (точек максимума и минимума). а только точек минимума:
Решение: Итак, экстремумы графика функции - это точки пересечения графика производной функции и оси абсцисс (т. е. оси Х).
Точки минимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при возрастании графика производной функции (красные точки на графике). Точки максимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при убывании графика производной функции (синие точки на графике). Нам необходимо найти количество точек минимума ( красные точки). Как видно на графике, их 2, значит ответ: 2.
Сейчас рассмотрим задачи на нахождение наибольших и наименьших значений графика функции на заданном промежутке. Здесь возможны 4 варианта задач, предлагаю их разобрать.
Здесь важно понять, что если график функции возрастает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе - наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе - наименьшим.
Задача 1:
Решение:
Ответ: -2
Задача 2:
Решение:
Ответ: 0
Задача 3:
Решение:
Ответ: -1
задача 4:
Решение:
Ответ: 3
Выше мы разбирали схему аналогии графика функции и графика производной функции. При решении рассмотренных ниже задач, эту схему тоже необходимо использовать:
задача 1:
Решение:
Итак, найти надо было количество целых точек, т. е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках убывания, в нашем случае это точки: х=2,х=3, х=4 (кстати, точка х=1 не подходит, т. к. в ней наблюдается максимум функции, а это не есть убывание функции), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.
Задача 2:
Решение:
Итак, найти надо было количество целых точек, т. е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках возрастания, в нашем случае это точки: х=-3,х=-2, х=-1 (кстати, точка х=-4 (обведена красным) не подходит, т. к. она исключена), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.
Задача 3:
Решение:
На графике видно, что наибольший промежуток - это второй, его длина равна 4, значит ответ: 4
Задача 4:
Решение:
На графике видно, что наибольший промежуток - это первый, его длина равна 5, значит ответ: 5.
Продолжая работать с заданием В8 из ЕГЭ по математике, разберем задания в которых надо использовать уравнение касательной или уравнение прямой, которая параллельна касательной к графику функции. Таких заданий всего два типа. Разберем оба.
В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке. Почему именно так? Угловой коэффициент прямой, в тех заданиях которые будут предложены на ЕГЭ по математике, будет равен всегда нулю (т. к. графики касательных будут параллельны оси ОХ) или смотрите схему аналогии графиков функции и производной функции.
Рассмотрим на примере:
Решение:
Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо:
1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами:
- Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой; Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1
2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой.
3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.
Рассмотрим на примере:
Решение:
Далее разберем задачи, в которых по заданным графически функции и касательной, проведенная к ней в данной точке необходимо найти угловой коэффициент касательной. Как находить угловой коэффициент касательной по уравнению касательной я уже писала выше.
Разберем как найти угловой коэффициент касательной по заданной касательной графически, итак два типа задач:
Задача 1:
Решение:
Задача 2:
Решение:
