Моделирование сложных систем
УДК 53(0404)
, канд. физ.-мат. наук, доц.,
, д-р физ.-мат. наук, проф.,
Гуманитарно-педагогическая академия (филиал)
"КФУ им. " в г. Ялте
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В РАМКАХ ЕДИНОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРО-СЛАБО-СИЛЬНО-ГРАВИТАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Аннотация. В настоящей работе дана новая простая трактовка гравитации и калибровочных полей как связностей в расслоенном пространстве, задающих изменение базисных векторов базы и слоя при бесконечно малом смещении в базе. Вывод взаимодействия калибровочных полей с кварками и лептонами основан на трактовке лептонов и кварков как векторов и тензоров в пространстве слоя. Динамика калибровочных полей и гравитации вводится на основе уравнений механики Э. Картана с помощью симплектической метрики, которая объединяет гравитационное и калибровочные поля в единое целое.
Ключевые слова: калибровочная теория, электро-слабые взаимодействия, метрика, гравитация, связность.
Abstract. In this paper we are given a new interpretation of a simple gravity and gauge fields as the connections to the fiber bundle, a given change in the basis vectors and the base layer with an infinitely small displacement in the database. Introduction of interaction of gauge fields and the quarks and leptons based on the interpretation of leptons and quarks as vectors and tensors in the space layer. The dynamics of gauge fields and gravity introduced based on the equations of mechanics Cartan using symplectic metric that unites gravity and gauge fields together.
Keywords: gauge theory, electro-weak interactions, metric, gravitation, cohesion.
Введение. Попытки построить единую теорию всех взаимодействий, единую теорию поля, начались еще до создания А. Эйнштейном Общей теории относительности. Эту проблему поставил Д. Гильберт. Эйнштейн предложил большое количество вариантов объединения гравитации и электромагнитного поля. Однако, по нашему мнению, наиболее удачно такое объединение было достигнуто в работе [1], где гравитация и электромагнетизм объединялись в псевдоримановой метрике 5-ти мерного дифференцируемого многообразия, и в более современном варианте объединения в работе [2], где гравитация и электромагнетизм были объединены в единую электро-гравитационную связность также в пространстве 5 измерений. Но после создания Вайнбергом, Саламом, Глэшоу теории электро-слабых взаимодействий, а также квантовой хромодинамики стала ясна необходимость нового подхода к единой теории поля, заключающейся в объединении электро-слабого взаимодействия с квантовой хромодинамикой и теорией гравитации. Возможность такого объединения заключается в аналогии, существующей между теорией Янга-Миллса и теорией относительности [3], и того, что как теория электро-слабого взаимодействия, так и квантовая хромодинамика содержат в себе теорию Янга-Миллса. Обобщить работы [1] и [2] на электро-слабое взаимодействие и хромодинамику не представляется возможным.
Цель работы. Цель настоящей работы –построение новой простой трактовки гравитации и калибровочных полей, как связностей в расслоенном пространстве, задающих изменение базисных векторов базы и слоя при бесконечно малом смещении в базе.
Основная часть. В 5-ти мерном пространстве можно легко ввести электро-гравитационную связность, а именно, потребовав:
(1)
где б=
; в=
, м=
[4].
Тем самым задав в 5-мерном пространстве электро-гравитационную связность (
), при этом 
- описывает бесконечно малые изменения базисных реперов пространства-времени, то есть гравитацию, при переходе от одной точки пространства-времени к другой бесконечно близкой.
Четырехмерное пространство-время предполагается вложенным в 5-мерное многообразие и в каждой его точке выбран линейно независимый
с {
}, б=
, вектор 
, изменения которого при переходе от одной точки пространства-времени к другой бесконечно близкой описывается одноформой электромагнитного поля А, d – внешний дифференциал [5].
Внешне дифференцируя равенства (1) и (2), получим выражение для кривизны пространства-времени
, то есть гравитации и двуформы электромагнитного поля:
, (3)
, (4)
таким образом
, (5)
. (6)
Тем самым в пространстве-времени, вложенном в 5-мерное многообразие, вводится связность, описывающая как гравитацию так и электромагнитное поле. Уравнение Гильберта-Эйнштейна в ОТО, равно как и уравнения Максвелла сводятся к единой системе уравнений Картана для симплектической метрики.
Выводы. Таким образом, в данной работе получены результаты, аналогичные полученным в работах [6, 7]. То есть все взаимодействия, входящие в стандартную модель физики элементарных частиц (электро-слабое и сильное взаимодействия) и гравитация объединены в единую связность в расслоенном пространстве, и указано как в теорию могут быть включены фермионы. Но, в отличии от работ [6, 7], это сделано значительно проще, так как основано на знаменитых работах Э. Картана (например [4]. В то время как Lisi использовал сложные манипуляции со связностями, возникающими в рамках группы Ли Е8 (хотя такие связности также восходят к работам Э. Картана).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Kaluza Th. Sitzungsber. d. Berl. Akad., 1921,S.966. Mendygulov Yu., Selezov I. Electro-gravitational Field as Connectivity in Extended Space-Time // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: из-во Института Математики НАНУ Украины 1994, с.176-178. Utiyama R. Phys. Rev., 101, 1597 (1956). еометрия римановых пространств. М.-Л., ОНТИ, НКТП СССР, 1936. Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. Garrett A. Lisi. An Exceptionally Simple Theory of Everything // ar Xiv: 0711, 0770 v1. [hep-th] 6 №V 2007. Garrett A. Lisi, Lee Smolin, Simone Speziale General Relativity and Quantum Cosmology (gr-qc); High Energy Physics - Theory (hep-th) J. Phys. A43:445401,2010
