ПО МАТЕМАТИКЕ
II этап, 2013 год
7.1. Рыбак от озера прошел на север 8 км, затем повернул на юг и прошел 12 км, после чего повернул на запад и прошел 4 км и снова на север 4 км. На каком расстоянии от начала пути он находится?
Ответ: 4 км.
7.2. В ряд выложены карточки, на которых написаны числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Разрешается взять несколько подряд лежащих карточек и переставить их в обратном порядке. Можно ли за три таких операции добиться расположения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Ответ: Да.
Сначала перекладываем первые шесть карточек в обратном порядке, получится 654987123, далее перекладываем с 4 по 9 карточки, получится 654321789, затем снова первые 6 карточек.
7.3. На доске написано 2013 целых чисел. Докажите, что всегда можно стереть одно число так, что сумма оставшихся будет четной.
Найдем сумму всех чисел. Если она нечетна, то среди слагаемых есть хотя бы одно нечетное, стираем его и получаем четную сумму оставшихся чисел. Если сумма всех чисел четна, то среди чисел есть хотя бы одно четное (поскольку сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна). Стираем четное число и получаем четную сумму оставшихся.
7.4. Юра шел по дороге и встретил трактор, тащивший за собой длинную трубу. Юра решил измерить длину трубы. Для этого он прошел вдоль нее “против движения трактора” и насчитал 20 шагов. После этого он прошел вдоль трубы “по движению трактора” и насчитал 140 шагов. Зная, что его шаг равен 1 м, Юра смог найти длину трубы. Чему она равна? Не забудьте обосновать ответ.
Ответ: 35 м.
Пусть за то время, что Юра делает 20 шагов, труба проезжает x метров. Обозначив длину трубы через L, получим: 20=L–x, 140=L+7x. Отсюда L=(140+20∙7):8=35.
7.5. У Васи была 101 настоящая монета. Одну из них заменили на фальшивую (она отличается по весу, но неизвестно, легче она или тяжелее настоящей). Васе хочется за одно взвешивание на чашечных весах без гирь найти как можно больше настоящих монет. Что он должен сделать и сколько настоящих монет он сможет найти?
Ответ. 50 монет.
Разделим монеты на кучки 25; 25; 51 и положим кучки из 25 монет на весы. Если весы в равновесии, то эти кучки содержали настоящие монеты, и мы нашли 50 настоящих монеты. Если весы не в равновесии, то настоящие монеты в третьей кучке, и мы нашли 51 настоящую монету. Таким образом, в любом случае удастся обнаружить 50 настоящих монет. Докажем, что больше нельзя. Если на чаши весов положить одинаковое количество монет, не большее 24, то в случае равенства удается гарантированно определить не более 48 настоящих монет. Если на чаши весов положить одинаковое количество монет, не меньшее 26, то в случае неравенства удается определить не более 49 настоящих монет – это монеты, которые не были на чашах.
Комментарий. Если предложен правильный алгоритм определения меньшего, чем 50, количества настоящих монет, то оценка – 1 балл. Если предложен правильный алгоритм определения 50 настоящих монет (без обоснования максимальности), то оценка – 3 балла.
8.1. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны 20.
Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10.
Комментарий. Приведенный ответ – 7 баллов.
8.2. Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?
Ответ: 29.
В зале не более 29 рядов. Иначе класс в 30 человек можно рассадить по одному в ряду. С другой стороны, если класс в 26 человек рассадить по одному, то, по условию, по крайней мере три ряда окажутся пустыми, значит, рядов не менее 29.
Комментарий. Ответ без обоснования – 2 балл.
8.3. С тремя целыми числами сделали следующее: из одного числа вычли единицу, к другому прибавили единицу, а третье число возвели в квадрат. В результате получился такой же набор чисел. Найдите эти числа, если известно, что сумма чисел равна 2013.
Ответ: 1007, 1006, 0.
Обозначим числа исходного набора a, b, c. Получившийся набор будет 
, 
, c2. Из того, что наборы совпадают, следует равенство 
. Получаем 
. То есть 
или 
. Так как 
, получаем 
, 
. Это означает, что возможны два случая 
и 
. В первом случае получаем сумму 
, которая приводит к ответу. Во втором случае получаем 
. Противоречие – слева четное число, справа – нечетное.
Комментарий. Ответ без обоснования – 1 балл.
8.4. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC точки E и D таковы, что отрезки AD и CE равны, 
и 
. Найдите углы треугольника.
Ответ. Все углы равны 
.
Треугольники CEA и ADB равны (по стороне и прилежащим углам). Значит, равны стороны AC и AB и равны углы CAE и ABD, то есть углы CAB и ABC. Это означает равенство сторон AC и BC. Таким образом, треугольник ABC – равносторонний.
8.5. Числа от 1 до 10 выписали в каком-то порядке и получили числа a1, a2, a3, …, a10, а затем вычислили суммы S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + + a3, …, S10 = a1 + a2 + a3 + …+ a10. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди чисел S1, S2, S3, …, S10?
Ответ. 7.
Среди чисел от 1 до 10 – пять нечетных. Прибавление нечетного числа меняет четность суммы. Пусть y1`, y2, y3, y4, y5 нечетные числа, в порядке появления на доске. После прибавления y2 сумма станет четной и больше 2, как и после прибавления y4. Эти суммы являются составными числами, как и S10 = 55. Значит, среди сумм простых чисел не более 7.
Пример записи чисел: 2, 1, 4, 3, 7, 6, 8, 10, 5, 9. Получившиеся суммы: 2, 3, 7, 10, 17, 23, 31, 41, 46, 55.
Комментарий. Ответ без обоснования – 0 балл. Правильный ответ с примером – 3 балла (приведенный в решении пример не единственен). Оценка на количество простых сумм (без примера) – 3 балла.
9.1. Найдите наименьшее целое число x, удовлетворяющее неравенству 
.
Ответ. -4.
Если 
, то 
. Значит, целые числа, удовлетворяющие неравенству таковы, что 
. Непосредственной проверкой 
убеждаемся в правильности ответа.
Комментарий. Правильный ответ без строгого обоснования до 2 баллов. Решено неравенство, но неправильно выбран ответ 2 балла.
9.2. Две машины одновременно выехали из одного пункта и едут в одном направлении. Одна машина ехала со скоростью 50 км/час, другая – 40 км/час. Спустя полчаса из того же пункта и в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на полтора часа позже чем вторую машину. Найдите скорость третьей машины.
Ответ. 60 км/час.
За полчаса первая машина проедет 25 км, вторая 20 км. Обозначим x скорость третей машины. Время за которое она догонит первую машину равно 
, а вторую 
. Получаем уравнение 
и из него 
.
Комментарий. Верно составлены уравнение или система уравнений, соответствующие условию – 2 балла.
9.3. Вася написал на доске несколько натуральных чисел. Петя подписал под каждым Васиным числом его квадрат. После чего Маша сложила все числа, написанные на доске, и получила 111. Докажите, что кто-то из ребят ошибся.
Пусть a одно из чисел, написанных Васей. Тогда Петя подписал под ним число a2. Сумма этих двух чисел 
есть произведение двух последовательных натуральных чисел, то есть четное число. Сумма любого количества четных чисел есть четное число, но 111 – нечетное число. Значит, что кто-то из ребят ошибся.
9.4. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол B – прямой, E – точка пересечения диагоналей, точка F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на сторону AB. Докажите, что углы CFE и DFE равны.
Поскольку EF перпендикулярно AB, достаточно заметить равенство углов BFC и AFD. Из параллельности AD и FE и теоремы Фалеса получаем равенство 
. В треугольниках CEB и AED имеет место равенство углов C и A, B и D, как накрест лежащих углов. Это означает, что треугольники CEB и AED подобные и 
. Поэтому получаем равенство 
и подобие треугольников BFC и AFD. Тем самым есть равенство углов BFC и AFD.
9.5. На столе лежит куча из 2013 монет. Из нее убирают одну монету и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной монеты, снова убирают одну монету и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех монет?
Ответ: нет.
После каждой процедуры число монет уменьшается на 1, а число кучек на 1 увеличивается. Поскольку первоначально монет было 2013, а кучка одна, то после n процедур монет окажется 2013 − n, а кучек станет 
. В задаче требуется, чтобы выполнилось равенство: 2013 − n = 3(n + 1) или 2010 = 4n, что невозможно, поскольку правая часть кратна 4, а левая – нет.
10.1. В магазине Саша купил две ручки, три тетради и один карандаш и заплатил 33 рубля, Дима купил одну ручку, одну тетрадь и два карандаша и заплатил 20 рублей. Сколько заплатила Таня за четыре ручки, пять тетрадей и пять карандашей?
Ответ. 73 рубля.
Обозначим a, b, c цену ручки, тетради, карандаша. Тогда по условию имеем 
и 
. Умножив второе соотношение на 2 и, сложив с первым равенством, получим ответ.
10.2. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 100 членов – целые числа, а все остальные члены не являются целыми?
Ответ. Да.
Пусть 
– первый член геометрической прогрессии, 
– знаменатель прогрессии. Рассмотрим общий член прогрессии 
. Дробь 
несократима, если 
, так как 2 и 3 простые числа, и является целым числом, если 
.
Комментарий. Правильный пример без достаточных обоснований 5 баллов.
10.3. Из шахматной доски вырезали две клетки – черную и белую. Докажите, что независимо от положения вырезанных клеток оставшуюся часть можно полностью покрыть костяшками домино (каждая из костяшек покрывает две соседние клетки доски, причем по одному разу).
Построим на шахматной доске замкнутый путь, проходящий по каждой клетке по одному разу. Отметим, что при движении по пути черные и белые клетки чередуются. Вырезанные клетки разобьют этот путь на две части. Каждая часть имеет четное количество клеток (она начинается и заканчивается клетками разного цвета) Значит, каждую часть можно заложить костяшками домино.
Комментарий. Если решение основано на переборе вариантов и пропущен какой-либо случай, то не более 2 баллов
10.4. Даны три ненулевых числа. Если поставить их в любом порядке в качестве коэффициентов квадратного трехчлена, то трехчлен будет иметь корни. Докажите, что у каждого из этих трехчленов есть положительный корень.
Во-первых, отметим, что если некоторый квадратный трёхчлен 
имеет отрицательные корни (в том числе отрицательный корень кратности 2), то коэффициенты A, B и C одного знака. Действительно, по теореме Виета имеем 
, а поскольку произведение корней x1 и x2 положительное, коэффициенты A и C одного знака. Из 
и отрицательности корней следует, что коэффициенты A и B одного знака.
Пусть числа a, b, c из условия, причем c – наименьшее из них по модулю. Допустим, что у одного из трехчленов нет положительных корней. Нулевых корней нет, так как все свободные члены ненулевые, поэтому оба корня отрицательные. Значит, a, b, c числа одного знака. Но тогда 
, и уравнение 
не имеет корней.
10.5. Через вершины B и C треугольника ABC и точку I – центр вписанной окружности провели окружность c центром в точке P. Докажите, что точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
Продолжим биссектрису угла A до пересечения с описанной окружностью в некоторой точке Q. Поскольку равные вписанные углы опираются на равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами, получаем 
. Угол CIQ как внешний угол треугольника AIC равен полусумме углов A и C треугольника ABC. Тому же самому равен угол ICQ. Значит, треугольник IQC равнобедренный, стороны QI и QC равны. Таким образом Q центр окружности, описанной около треугольника BIC.
11.1. Докажите, что для любых x выполняется неравенство:
.
Перемножив в первую и четвертую скобки левой части неравенства, получим 
, перемножив вторую и третью, получим 
. Введем переменную 
. Левая часть неравенства примет вид 
и, очевидно, является положительной.
11.2. В карьере заготовлено 120 гранитных плит по 7 т и 80 плит по 9 т. На железнодорожную платформу можно погрузить до 40 т. Какое наименьшее число платформ потребуется, чтобы вывезти все плиты?
Ответ. 40 платформ.
На одну платформу нельзя погрузить 6 плит даже по 7 т. Поэтому нужно, по крайней мере, 200/5 = 40 платформ. Сорока платформ достаточно: на каждую платформу можно погрузить 3 плиты по 7 т и 2 плиты по 9 т.
Комментарий. Обоснована необходимость не менее 40 платформ – 3 балла. Предложен пример распределения плит на 40 платформах – 3 балла.
11.3. Дробная часть положительного числа, его целая часть и само число образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Найдите все такие числа.
Ответ. Такое число единственное 
.
Пусть a – искомое число, b – его целая часть, c – дробная, q – знаменатель прогрессии. Тогда 
и 
. По условию c > 0, сократив на c, получаем квадратное уравнение 
, которое имеет два корня и один из них 
больше 1. По условию целая часть числа больше ее дробной части, значит 
. С другой стороны, из неравенства 
следует, что 
и искомое число 
.
11.4. У Васи есть три банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из 10 досок так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов, и при этом он использовал краски всех трех цветов?
Ответ. 1530 способами.
Посчитаем сначала число способов, которыми можно покрасить забор так, чтобы любые две соседние доски были покрашены в различные цвета. Первую доску можно покрасить любой из трех красок, вторую – одной из двух оставшихся. Третью – одной из двух красок, отличающихся по цвету от второй доски и т. д. То есть число способов равно 
. В полученное число вошли и способы покраски забора в два цвета. Число таких способов равно 6 (первая доска 3 варианта, вторая 2, далее однозначно). Итого 
способов.
11.5. Все ребра тетраэдра равны 12 см. Можно ли поместить его в коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами 9см, 13 см и 15 см?
Ответ. Да.
Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 со стороной a. Тетраэдр ACB1D1 имеет все ребра, равные 
. Значит, тетраэдр с ребром 12 можно поместить в куб со стороной 
. Поскольку 
куб вместе с тетраэдром помещается в коробку.
