Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра «Механика композиционных материалов и конструкций»
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ
методические указания для студентов заочного обучения
направление 28.03.03 «Наноматериалы»
профиль: Конструкционные наноматериалы (КНМ)
Пермь – 2017
УДК 519.2+620.17.05]
Составитель: канд. техн. наук, доцент кафедры МКМК
В методических указаниях изложено содержание дисциплины « Математические методы обработки данных», приведены варианты контрольных работ и указания к их выполнению, описаны теоретические основы и практическая часть лабораторных работы.
Указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению бакалавриата 28.03.03 Наноматериалы профиль: Конструкционные наноматериалы (КНМ).
Пермский национальный исследовательский политехнический университет. 2017
Дисциплина «Математические методы обработки данных» относится к вариативной части Блока 1 «Дисциплины (модули)» и является дисциплиной по выбору при освоении ОПОП по направлению 28.03.03 «Наноматериалы» и профилю подготовки: «Математические методы обработки данных». Трудоемкость дисциплины составляет 144 часа, из них 123 часа выделяется на самостоятельную работу студентов (СРС). Самостоятельная работа студентов включает в себя: изучение теоретического материала, выполнение контрольной работы.
Введение
Представлена часть учебно-методического комплекса дисциплины «Математические методы обработки данных» – методические указания для студентов по дисциплине «Математические методы обработки данных».
Одним из видов изучения дисциплины является самостоятельная работа по программе курса с использованием учебников, учебных пособий, конспектов лекций.
Самостоятельная работа организуется в соответствии с использованными в учебном процессе формами учебных занятий. При выполнении самостоятельной работы студент готовит себя к успешному выполнению контрольно-измерительных мероприятий по курсу и что самое важное повышает эффективность получения профессиональных знаний необходимых в будущей работе по специальности.
При выполнении этой работы студент закрепляет и дополнительно прорабатывает теоретический материал лекционных занятий, готовится к выполнению и защите лабораторных работ, показывает умение пользоваться полученными решениями.
Самостоятельной работой рекомендуется заниматься системно. Изучаемый материал конспектировать, обдумывать использовать на практике получаемые значения, навыки и умения. При возникновении трудностей по тем или иным вопросам искать ответы путем обсуждения их с одногрупниками, обращения к преподавателю.
Методические указания по дисциплине «Математические методы обработки данных» в части теоретического обучения содержит краткое изложение программы и контрольные вопросы. В части лабораторных занятий задания на выполнения этих работ и контрольные вопросы.
Классификация погрешностей
- абсолютная погрешность — Дxi i-го наблюдения какой-либо физической величины определяется разностью Дxi = xi - x,
где xi - значение физической величины, найденное в i-м наблюдении; x – истинное значение измеряемой величины, которое принципиально получить невозможно;
- отношение
называется относительной погрешностью i-го наблюдения какой-либо физической величины и выражается в долях или процентах; Основные понятия и определения теории вероятностей
- теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы – математические модели; случайное явление — явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному); случайное событие — любой исход опыта, который может произойти или не произойти; несовместные события — два события несовместные, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т. е. не смогут произойти вместе в одном опыте.; достоверное событие — если событие обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через Ω; невозможное событие — если событие заведомо не произойдет в результате проведения опыта, обозначается через Ш; несовместные события — если появление одного из событий исключает появление другого события в одном и том же опыте, т. е. не смогут произойти вместе в одном опыте; суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т. е. или А, или В, или А и В вместе); произведением событий А и В называется событие С=А·В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А и В одновременно); разностью событий А и В называется событие С=А-В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В;
Основные понятия математической статистики
- генеральная совокупность — все гипотетическое множество имеющихся однородных объектов с изучаемыми признаками или множеством возможных результатов всех мыслимых наблюдений или измерений признака, производимых в неизменных условиях над одним объектом.; выборка — набор объектов или результатов наблюдений, случайно отобранных из генеральной совокупности; объем генеральной совокупности N и объем выборки n — число объектов в рассматриваемой совокупности; Существенно различающиеся виды выборки объектов:
- повторная — каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;
- бесповторная — отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается;
Методические указания по самостоятельному изучению теоретического материала (123 часа)
Для студентов заочного отделения тематика вопросов, вынесенных на самостоятельное изучение, соответствует тематике разделов и тем учебной дисциплины и является обязательной для изучения. В ходе изучения должны быть сформированы (табл. 1) следующие компоненты дисциплинарной части компетенции (ОПК-4. Б1.ДВ.05.2, ОПК-5. Б1.ДВ.05.2):
Таблица 1
Коды компонентов | Формулировки компонентов |
ОПК-4. Б1.ДВ.05.2 - з1 | Знать основные типы данных и особенности шкал измерений, в которых они получены; |
ОПК-4. Б1.ДВ.05.2 – з2 | Знать основные понятия математической статистики; |
ОПК-4. Б1.ДВ.05.2 – з3 | Знать методы проверки статистических гипотез для количественных и качественных данных; |
ОПК-4. Б1.ДВ.05.2 – з4 | Знать методы анализа связей (корреляция) и вида зависимости одного признака от одного или нескольких признаков (регрессионный анализ); |
ОПК-5. Б1.ДВ.05.2 – з5 | Знать методы анализа, систематизации, представления и обобщения данных путем применения комплекса методов при решении конкретных задач. |
Тематика вопросов, вынесенных на самостоятельное изучение:
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Действия с вероятностями. Дерево вероятностей. Формула Байеса.
Тема 2. Точность измерений. Классификация ошибок. Округление результатов.
Тема 3. Критерии выбора формы графического представления данных. Правила построения графиков и диаграмм.
Тема 4. Критерии определения независимости данных (наличие тренда).
Тема 5. Моделирование дискретной случайной величины.
Тема 6. Моделирование непрерывной случайной величины.
Тема 7. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения.
Тема 8. Проверка гипотез о виде распределения.
Тема 9. Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений.
Тема 10. Ранговая корреляция.
Тема 11. Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии.
Проверка уровня сформированности компонентов дисциплинарной части компетенции, представленных в таблице 1, являются теоретические вопросы экзамена (приложение 1).
Методические указания по выполнению контрольной работы (2 часа).
В ходе выполнения контрольной работы проверяется сформированность дисциплинарных частей компетенции (ОПК-4. Б1.ДВ.05.2 и ОПК-5. Б1.ДВ.05.2), представленные в таблице 2:
Таблица 2
Коды компонентов | Формулировки компонентов |
ОПК-4. Б1.ДВ.05.2 - у1 | уметь использовать статистические методы для решения конкретных задач. |
ОПК-5. Б1.ДВ.05.2-у2 | уметь грамотно и корректно подготавливать данные для статистического анализа. |
Общие сведения: в рамках контрольной работы каждый студент должен выполнить 3 задания по изученным темам дисциплины.
Требования к оформлению работы: контрольная работа должна содержать: титульный лист (приложение 3), содержание, основную часть, список литературы. Формат А4, шрифт 12пт, Times New Roman, через 1,5 интервал. Контрольная работа должна быть отпечатана и подшита в скоросшиватель или сдана в электронном виде преподавателю (документ MS Word).
Критерии оценки: Контрольная работа оценивается в системе «зачет/незачет». Оценка зачет выставляется на основании верного выполнения всех заданий.
Список рекомендованной литературы для самостоятельного изучения теоретического материала и выполнения контрольной работы:
Основная литература
Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / . — 6-е изд. — Москва: Айрис-пресс, 2013. — 287 с. Теория вероятностей и математическая статистика. Прикладная статистика с использованием MS EXCEL: учебное пособие / ; Пермский государственный технический университет. — Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. — 173 с. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / . — 12-е изд., перераб. — Москва: Высш. образование, 2008. — 479 с. Статистическая обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие для вузов / , . — М.: Изд-во МГГУ, 2003. — 268 с. Методы статистического анализа механических испытаний: справочник / . — М.: Интермет Инжиниринг, 2004. — 127 с. Механика материалов. Методы и средства экспериментальных исследований / [и др.] ; Пермский национальный исследовательский политехнический университет ; Под ред. .— Пермь : Изд-во ПНИПУ, 2011 .— 164 с. Электронный ресурс. URL: http://elib. pstu. ru/view. php? fDocumentId=2301 Экспериментальные исследования свойств материалов при сложных термомеханических воздействиях: коллективная монография / [и др.] ; Под ред. .— Москва : Физматлит, 2012 .— 203 с.Дополнительная литература
Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – Спб.: Издательство «Лань», 2004. – 256 с. Курс терии вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 400 с.Приложение 1
Вопросы для подготовки к экзамену по экспериментальной механике деформируемого твердого тела
Вопрос 1. Основные понятия и классификация задач анализа данных. Методы и подходы к обработке неопределенных данных. Современные проблемы обработки экспериментальных данных.
Вопрос 2. Планирование сбора данных. Предварительное исследование данных. Основные понятия теории вероятностей. Действия с вероятностями. Дерево вероятностей. Формула Байеса.
Вопрос 3. Понятие эксперимента. Ошибки измерений: промахи, систематические, случайные. Обработка результатов прямого измерения. Округление результатов.
Вопрос 4. Критерии исключения грубой погрешности. Точность измерений. Классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Оценка погрешностей значения функции.
Вопрос 5. Графическое изображение рядов распределения. Полигон и гистограмма. Плотность распределения. Виды таблиц и способы их построения. Графики и диаграммы, их виды и способы построения.
Вопрос 6. Критерии выбора формы графического представления данных. Правила построения графиков и диаграмм.
Вопрос 7. Выборочный метод. Независимость данных. Генеральная совокупность и выборка.
Вопрос 8. Методы и способы отбора. Определение ошибок и необходимых объемов выборки. Критерии определения независимости данных (наличие тренда).
Вопрос 9. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики. Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Вопрос 10. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Биномиальный закон распределения вероятностей. Распределение Пуассона. Моделирование дискретной случайной величины.
Вопрос 11. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Законы распределения вероятностей: нормальный, показательный, равномерный.
Вопрос 12. Точечные и интервальные оценки параметров случайной величины. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения.
Вопрос 13. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Вопрос 14. Проверка статистических гипотез. Распределения основных статистик и их квантили. Алгоритм проверки статистических гипотез.
Вопрос 15. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик. Проверка гипотез о равенстве числовому параметру. Проверка гипотез о виде распределения.
Вопрос 16. Дисперсионный анализ. Основы дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Коэффициент детерминации.
Приложение 2
Пример лабораторный работы «Обработка результатов прямого измерения. Округление результатов. Критерии исключения грубой погрешности. Абсолютная и относительная погрешности. Оценка погрешностей значения функции»
Цель работы
Знакомство с методикой проведения обработки результатов прямых измерений.
Объект исследования
Цилиндрические образцы.
Испытательное оборудование
Штангенциркуль
Содержание работы
Производится измерение диаметра рабочей зоны образца. Для измерения геометрического размера был использован штангенциркуль с погрешностью ± 0,03 мм.
Результаты измерений записать в виде: d1 =…, d2 =…, …… d5 =….
Вычислить среднее значение диаметра образца по формуле:
, где
xД – действительное значение;
n – число измерений;
xi – значение физической величины, найденое в i-м наблюдении;
– среднее значение.
Вычислить среднее квадратическое отклонение по формуле:
Вычислить доверительный интервал по методу Стьюдента с доверительной вероятностью б=0,95 по формуле:
, где
Д
– доверительный интервал;
– среднеквадратическое отклонение;
– коэффициент Стьюдента.
Для расчета инструментальной погрешности измерения диаметра образца, примем за погрешность измерения значение Дdинс=0,01 мм,
Рассчитаем величину результирующей погрешности Дd по формуле:
, где
Дх – погрешность измерения;
Дхинс – инструментальная погрешность;
Дхр – абсолютная погрешность.
Рассчитаем величину относительной погрешности дd по формуле:
Запишем диаметр образца по формуле:
Произведем расчет относительных погрешностей:
Определим относительную погрешность площади образца дs по формуле:
Выявление грубых погрешностей по критерию 3у:
Результат с вероятностью Р≤0,003 малореален. Величины 
и у вычисляются без хi . Число измерений n≥20.
Правила округления результатов:
Поскольку значения физических величин, полученных в результате измерений, имеют погрешности, они выражаются не точными, а приближенными числами. Незначащими цифрами приближенного числа называются нули, стоящие слева от первой отличной от нуля цифры в десятичных дробях, и нули, поставленные в конце числа, вместо цифр, отброшенных при округлении. Остальные цифра называются значащими. Например, в числе 0,00123 значащими являются цифры 1,2,3; в числе 508000, полученном округлением числа 507893, последние три нуля незначащие. В конце числа могут быть и значащие нули. В качестве примера можно привести выражение 5м = 500см. Здесь нули не заменяют отпрошенные при округлении цифры, а выражают точное соотношение между единицами длины.
Чтобы цифры не содержали незначащих нулей слева, их принято записывать в так называемой рационализированной форме, которую можно представить в виде выражения:
a, b,…..10c, где
а, b – цифры, причем a≠0; с – показатель степени.
Пример:
0,00123 = 1,23·10-2
5 км = 5,000·103м.
Таблица – Примеры правил округления
№ пп. | Значение измерений величины | Доверительная погрешность | Правильная запись окончательного результата |
1 | Н=4,062 м | ДН=0,0239 м | Н=(4,06±0,02) м |
2 | х=4,45 | Д х=0,4 | х=4,5±0,4 |
3 | d=6,8 мм | Дd=0,03 мм | d=6,80±0,03 |
Приложение 3
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
Аэрокосмический факультет
Кафедра «Механика композиционных материалов и конструкций»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Математические методы обработки данных»
Выполнил: студент гр. | |
наименование группы | (ФИО студента) |
Проверил доцент каф. МКМК |
Пермь 20___
