КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

Направление  подготовки 15.03.01 Машиностроение

Профиль Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств

заочная форма обучения

3 семестр (сдача в 4 семестре)

РЯДЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Примечание: Номера задач в контрольной работе определяются по последней цифре индивидуального номера в зачетной книжке. Например, если последняя цифра 0, то нужно выполнять вариант 10, а если 1, то нужно выполнять вариант 1 и т. д.

1) Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости рядов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2) С помощью признака сравнения проверить сходимость ряда

1

2

3

4

5

С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда

6

7

8

9

10

3) Исследовать на абсолютную или условную сходимость ряд с общим членом un.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4) Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним:

1 .        2. .        

3. .                4. .        

5.                        6. .

7. .                8. .

9. .                        10.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

5) Решить однородные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним:

1. .                                        2. .

3. .                                4. .

5. .                6. .

7. .                        8. .

9. .                                10. .

6) Решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

1. .                2. .

3. .                4. .

5. .                        6. .

7. .                        8. .

9. .                10. .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Пример 1

Проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости рядов

.

Решение.

Проверим необходимое условие сходимости числового ряда:

Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

Ответ: необходимое условие сходимости ряда не выполняется, ряд расходится.

Пример 2

а) С помощью признака сравнения проверить сходимость ряда

.

Решение.

Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как

Очевидно выполнение неравенства для любого натурального значения n.

Ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся для s>1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.

Ответ: ряд сходится.

б) С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда

.

Решение.

Проверим выполнение необходимого условия сходимости числового ряда, предел вычислим по правилу Лопиталя:

Условие выполнено.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 3.1. Исследовать на абсолютную сходимость ряд:

Решение.

Так как ряд знакочередующийся, то можно применить теорему Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Сходимость этого последнего ряда легко обнаружить, если применить признаки сравнения  или интегральный признак Коши.

Применим интегральный признак:

Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится ряд, составленный из абсолютных величин знакочередующегося ряда. Следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно

Пример 3.2. Исследовать на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд Лейбница

Решение.

По признаку Лейбница этот ряд сходится, т. к. для него выполняются оба условия этого признака: 

a)   б) .

Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим, который расходится. Следовательно, ряд Лейбница сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения .

Решение.

Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.

Поэтому или . Обозначим .

Тогда – общий интеграл ДУ.

Ответ: – общий интеграл ДУ

Пример 5.1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Это уравнение приводится к виду , где – однородные функции первого измерения; они удовлетворяют условию при . Полагая или , находим. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем

Вводя новую переменную по формуле и интегрируя, находим

,

откуда .

Следовательно, – общее решение.

Ответ: – общее решение

Пример 5.2. Найти общий интеграл уравнения

Решение.

Данное уравнение однородное, т. к. функции и – однородные функции второго порядка.

Положим . Тогда . Подставляем в исходное уравнение:

,

,

,

последнее – уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные

и интегрируем , , .

Обозначим , . Тогда .

Заменяя на , получаем – общий интеграл исходного уравнения.

Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду:

, , .

Затем положить , тогда и т. д.

Ответ: – общий интеграл исходного уравнения.

Пример 6.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение для данного уравнения принимает вид . Так как , , то общее решение в соответствии с определяется формулой

Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные , в выражение для и . Из этой системы находим

При этих значениях и функция (1) принимает вид . Итак, – искомое частное решение.

Ответ: – искомое частное решение.

Пример 6.2. Решить уравнение .

Решение.

Имеем: По формуле: , получаем общее решение уравнения:

.

Ответ: .