Лекция 4
Интервальная оценка математического ожидания нормально распределённой СВ Х.
Недостаток точечных оценок Ɵ*(Х) генеральных числовых характеристик Ɵ(Х) состоит в том их с достаточным основанием М использовать только при больших объемных выборок.
При выборках малого объема Ɵ*(Х) М значительно отличается от оцениваемых генеральных числовых характеристик Ɵ(Х).Поэтому важно иметь представление о точности и надежности оценки. Эти вновь введенные параметры (точность 
и надежность 
) подводят нас к понятию интервальной оценки.
Определение: Доверительным интервалом для параметра Ɵ генеральной совокупности Х называется интервал (Ɵ1;Ɵ2) со случайными, зависящими от выборки Х1, Х2, …, Хn границами Ɵ1 = Ɵ1(Х1, … , Хn); Ɵ2 = Ɵ2 (Х1, … , Хn), которые с вероятностью
, близкой к 1 «содержат» или «покрывают» истинное значение оцениваемого параметра Ɵ.
Определение: Вероятность 
над доверительной вероятностью или над точностью интервальной оценки, обычно выбирают равную 0,9 или 0,95 или 0,99.
Смысл 
a priory допускается, что утверждение «данная реализация доверительного интервала (Ɵ(Х1, … , Хn); Ɵ2 (Х1, … , Хn)) содержит оцениваемый параметр Ɵ» может оказаться ошибочным, но лишь в (1-
)Х 100% общего числа выборок, т. е. в 10%, в 5%, в 1% выборок.
Длина интервала Ɵ2-Ɵ1 характеризует точность интервальной оценки д = 
.
Надежность интервала 
= Р (Ɵ1 < Ɵ < Ɵ2 )
Точность и надежность – величины обратно пропорциональные.
Иногда следует пожертвовать точностью, т. е. увеличить границы интервала, ради надежности.
Иногда, наоборот, исследователя больше интересует точность, и он может в приемлемых рамках снизить надежность, ради уменьшения границ интервала.
Программа действий для построения доверительного интервала.
Подбирают функцию, называемую статистикой, которая есть на самом деле некоторая СВ, так, чтобы ее закон распределения был известен, и чтобы она имела известные табулированные функцию плотности fg (x) и функцию распределения Fg (x).
Из теории вероятности известно:
fx(x) ↔ Fx(x)
P(б < x < 
) = 
x (x) dx = F (в) – F (б)
В связи с этим, записывают вероятностное равенство Р (g1 < g (Ɵ, Ɵ*) < g2) = 
2) – Fg (g1) = 
.
Существует бесконечное множество значений g1 и g2 , обеспечивающих справедливость данного равенства
P=S=л
s1 S2
q1 q2 q1 q2
Поэтому, следует использовать дополнительное условие
Р(q(Ɵ,Ɵ*)<q1) = Р(q(Ɵ,Ɵ*)<q2) = S1<S2 для того, чтобы q1 и q2 определить однозначно.
С помощью эквивалентных преобразований, двойное неравенство q1 < q(Ɵ,Ɵ*) < q2, которое выполняется с вероятностью 
разрешают относительно оцениваемого параметра Ɵ и получают Ɵ1(Х1… Хn) < Ɵ < Ɵ2 (Х1 … Хn).
Подставив в формулы концов интервала Ɵ1(Х1 … Хn), Ɵ2 (Х1 … Хn) конкретную реализацию выборки (Х1 … Хn), получаем соответствующий данной реализации (выборке) числовой интервал Ɵ (Х1 … Хn), Ɵ2 (Х1 … Хn).
Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности Х при известной дисперсии.
Пусть признак Х - генеральная совокупность, Х - СВ Х имеют нормальное распределение с параметром, который есть неслучайные числа М (Х) = Хr = 
; D (Х) = G2r = 
2 = 
+ … + xN2 - 
Причем хr неизвестно, а G2r - известна, именно, найдена в результате специальных многократных измерений.
Как известно, наилучшей оценкой хr является xв, найденная по выборке Х1 … Хn по формуле:
xв = 
Основная аксиома математической статистики состоит в том, что СВ-ны Х1 … Хn имеют тот же закон распределения, что СВ Х и те же значения параметров М (х1) = М (х2) = … = М (хn) = М (х) = Xr
D(х1) = D (х2) … = D (хn) = D (х) = Gr2
Исходя из этой основной аксиомы, имеем, что СВ хв имеет то же распределение с параметрами:
М (хв) = М( 
) = 
M(
) = 
M(xi) = 
(М(х1) … + М(хn)) = 
(xr + xr … …+xr) = 
* n xr = xr
Кроме всего мы доказали несмещённость оценки хв
Д (хв) = Д( 
) = 
(D(
) = 
D(xi) = 
(D(х1) … + D(хn)) = 
(Gr2 + … + Gr2) = 
* n Gr 2= 
Рассмотрим стандартную нормальную СВ Z= 
= 
С табулированными функциями плотности у = ф(х) ф-я Гаусса и распределения Fz(х),
Ф(х) ф-я Ла Пласа Ф(х)= Fz(х) – Ѕ
y=Ф(х)
х +
х +
Построим доверительный интервал для математического ожидания СВ х
В качестве функции q (Ɵ, Ɵ*) возьмем Z = 
, зависящую и от оцениваемого параметра, и от ее точечной оценки. Зададим величину доверительной вероятности 
и запишем вероятностное равенство
Р(-Z/(
) < Z < Z 
)) = 
, где - Z (
) и Z (г/2) –это квантили порядка 
и 1-
соответственно, так как имеет место равенства:
P( Z < - Z (
)) = 
P( Z > Z (
= 
, p(Z<z(
) = 1 - 
= 1 - 
P=S =
P = S1 = 
P = S2 = 
Определение: Точка Хp называется квантилем порядка p СВ Х (хp принадлежит ОДЗ х), если выполняется равенство:
P ( Х < xp)=р
P (X < Me ) = Ѕ K
K 1-
P (X < Q1) = ј
P (X < Q3) = ѕ 
4 Me Ɵ3
P (Z < K 
= - Z (
P ( Z < K 1 -
= Z(
) = 1 - 
И так, P (-Z (
) < Z < Z (
-Z (
< Z(
)
Разрешим это неравенство, которое выполняется с вероятностью л, относительно параметра Хr
-Z(
* 
< xв-xr < Z 
*
-xв - Z(
< - xr < - xв + Z(
* 
xв + Z(
> 
xв - Z(
* 
Итак, P (xв – Z(
)*
< xr < xв + Z(
* 
) = 
