Теория вероятностей и математическая статистика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный университет им. »

Институт управления и предпринимательства

Теория вероятностей

и математическая статистика

Программа дисциплины

(Стандарт ПД-ЕН)

Екатеринбург

2009

                                                       

I. ВВЕДЕНИЕ

1. Цели дисциплины

               Цель дисциплины - ознакомление с основными понятиями и методами теории вероятностей, с помощью которых можно анализировать и решать прикладные экономические задачи.

2. Задачи дисциплины

ознакомить студентов с основами математического аппарата теории вероятностей, необходимого для решения практических задач; выработать у студентов навыки математического исследование прикладных вопросов и умение перевести содержательную вероятностную задачу на математический язык, найти подходящий метод решения задачи, воспользоваться для ее решения вычислительной техникой, содержательно проанализировать результаты решения и применить их на практике; выработать у студентов навыки статистического подхода к организации исследований; развить у студентов вероятностное мышление и общую математическую культуру; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области математики.

3. Место дисциплины в системе высшего профессионального  образования

Успешное освоения материала курса предполагает знания студентами содержания таких дисциплин, как «Математический анализ» (раздел «Дифференциальное и интегральное исчисление»), «Линейная алгебра».

Дисциплина входит в курс «Математика», который является базовым в математическом и естественно-научном цикле.

4. Требования к уровню усвоения курса

После изучения курса студенты должны:

ЗНАТЬ

Цели и задачи теории вероятности, ее роли и месте в социально-экономических исследованиях, о методологических проблемах  теории вероятностей; Основные понятия и задачи  теории вероятностей; уметь применять стандартные методы и модели к решению вероятностных задач, пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении задач,  уметь содержательно интерпретировать формальные результаты.

УМЕТЬ

Творчески применить теоретические знания при решении практических задач, используя ЭВМ и современные методы исследования;

ВЛАДЕТЬ

Навыками математического исследование прикладных вопросов

5. Методическая новизна

       Методическая новизна курса заключается в том, что практические задания, выполняемые студентами, взяты из реальной практики деятельности предприятий. Практические задания разбиты по уровням сложности и упор делается на выработку навыков решения задач повышенной сложности.

II. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.

1. ТЕМЫ И РАЗДЕЛЫ КУРСА, ИХ КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ.

Тема 1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей и математическая статистика как математические науки. Их место в ряду математических дисциплин для студентов экономических специальностей. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.

Тема 2.  Случайные события

               Случайное событие. Алгебра событий. Вероятность случайного события. Классический подход к определению вероятностей. Статистический подход к определению вероятностей. Условная вероятность. Независимые и зависимые события. Вероятность суммы двух событий. Вероятность произведения событий. Полная вероятность. Апостериорная вероятность (формула Бейеса). Схема независимых испытаний Бернулли. Локальная и интегральная формулы Лапласа.

Тема 3. Случайные величины.

               Понятие случайной величины. Вероятностное пространство. Случайные величины и способы их описания. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Сумма и произведение дискретных случайных величин. Независимые случайные величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.  Математическое ожидание дискретной случайной величины, ее свойства. Дисперсия дискретной случайной величины. Ее свойства. Среднеквадратичное отклонение.

Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Функция распределения случайной величины. Ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Ее свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.  Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Их свойства. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.

Тема 4. Нормальное распределение.

               Нормально распределенная случайная величина. Плотность нормального распределения. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины. График плотности распределения непрерывной случайной величины и его поведение при изменении параметров распределения. Нормированное нормальное распределение. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормированного нормального распределения. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм.

Распределения, связанные с нормальным распределением. Распределение «хи-квадрат», Стьюдента и Фишера. Их основные свойства. Графики их плотностей распределения. Работа с таблицами распределений.

Тема 5. Законы больших чисел.

               Понятие закона больших чисел. Неравенство Маркова (Лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Понятие сходимости по вероятности. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Значение теоремы Чебышева. Следствие теоремы Чебышева: теорема Бернулли и теорема Пуассона. Их значение. Центральная предельная теорема. Ее значение.

Тема 6. Вариационные ряды и их характеристики.

               Понятие вариационного ряда. Дискретные и интервальные вариационные ряды. Рекомендации по группировке интервального временного ряда – формула Стерджеса. Графическое представление вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая. Эмпирическая функция распределения вариационного ряда. Сводные характеристике вариационного ряда: показатели среднего и показатели вариации. Показатели среднего: среднее арифметическое, мода, медиана. Свойства среднего арифметического. Групповые и общая средние. Показатели вариации: размах вариационного ряда, дисперсия вариационного ряда. Свойства дисперсии. Внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии, их связь.

Тема 7. Основы выборочного метода математической статистики.

               Выборочный метод математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Виды выборок. Репрезентативность выборки. Статистическая обработка материала наблюдения. Выборочное распределение и выборочные характеристики. Понятие статистического оценивания. Точечные и интервальные оценки. Точность оценки. Точечные оценки математического ожидания, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции генеральной совокупности. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема. Цепи Маркова и их использование в моделировании социально-экономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных. Линейность, несмещенность и состоятельность точечных оценок. Свойства выборочных характеристик как точечных оценок неизвестных параметров распределения генеральной совокупности. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

2. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ:

Классическое определение вероятности. Сумма случайных величин. Произведение случайных величин. Условная вероятность. Полная вероятность. Формула Бейеса. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Нормальное распределение. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Вариационные ряды и их характеристики. Доверительные интервалы.

3. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Вопросы на самостоятельную подготовку студентов к семинарским занятиям

Классическое определение вероятностей. Статистическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Полная группа событий. Противоположные события. Теорема умножения вероятностей для противоположных событий. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Начальные и центральные теоретические моменты. Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента. Показательное распределение. Функция надежности и показательный закон надежности. Логарифмически - нормальное распределение. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Двумерная плотность вероятности и ее свойства. Зависимые и независимые случайные величины. Теорема о независимости. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции двух случайных величин.

Пример задания для самостоятельной работы

Случайная величина x определяется как разность между большим и меньшим числами, выпавшими при бросании двух игральных костей. Найдите распределение вероятности для х. Найти мат. ожидание для х. Найти мат. ожидание для х2 Показать, что М(λх)=λМ(х), λ - константа, х - дискретная случайная величина. Найти дисперсию х из п. 1, используя определение дисперсии. Найти стандартное отклонение этой случайной величины. х - случайная величина, определяемая числом очков, выпавшим при однократном бросании игральной кости, у - случайная величина, определяемая соотношением у=х2+3х-2. Найти мат. ожидание у и показать, что М(у)=М(х2)+3М(х)-2

4. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ РАБОТ

Не предусмотрены

5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ.

Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Определение интегральной функции распределения и ее свойства. Дифференциальная функция распределения плотности вероятности и ее свойства. Взаимосвязь интегральной и дифференциальной функции плотности вероятностей с примером. Характеристики непрерывно распределенной случайной величины с примером их вычисления. Одинаково распределенные, взаимно независимые случайные величины и их свойства Равномерно распределенная случайная величина и ее характеристики. Нормальное распределение, его функция распределения, график дифференциальной функции и его свойства Нормированное нормальное распределение. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной величины Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной величины. Правило трех сигм. Распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера. Вариационные ряды и их графическое изображение. Средняя арифметическая и ее свойства. Групповая и общая средние. Выборочная дисперсия и ее свойства. Групповая, внутригрупповая и общая дисперсии, их взаимосвязь. Закон больших чисел. Лемма Чебышева. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Предельные теоремы (без док-ва) Выборка и генеральная совокупность, их характеристики. Свойства генеральной и выборочной средних. Свойства генеральной и выборочной дисперсии. Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервал. Получение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения. Получение доверительного интервала для дисперсии нормального распределения.

III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КУРСА ПО ВИДАМ И ТЕМАМ РАБОТ

3.1. по дневной  форме с нормативным сроком обучения 5 лет

№ п/п	Наименование разделов и тем	Учебный план, часов
Аудиторные занятия (час.)	Самост. работа	Итого по темам
Лекции	Практические
Предмет теории вероятностей.
Случайные события.
Случайные величины.
Нормальное распределение
Законы больших чисел.
Вариационные ряды и их характеристики.
Основы выборочного метода математической статистики
ИТОГО	18	36	56	110

3.1. по заочной форме с нормативным сроком обучения 6 лет

№ п/п	Наименование разделов и тем	Учебный план, часов
Аудиторные занятия (час.)	Самост. работа	Итого по темам
Лекции	Практические
Предмет теории вероятностей.
Случайные события.
Случайные величины.
Нормальное распределение
Законы больших чисел.
Вариационные ряды и их характеристики.
Основы выборочного метода математической статистики
ИТОГО	10	10	90	110

3.2. по заочной форме в сокращенные сроки – 3,5 года

№ п/п	Наименование разделов и тем	Учебный план, часов
Аудиторные занятия (час.)	Самост. работа	Итого по темам
Лекции	Практические
Предмет теории вероятностей.
Случайные события.
Случайные величины.
Нормальное распределение
Законы больших чисел.
Вариационные ряды и их характеристики.
Основы выборочного метода математической статистики
ИТОГО	6	4	100	110

IV. ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Зачет.

V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная

Гмурман, к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие [для вузов] / . – 11-е изд., перераб. – М. : Высшее образование, 2009. – 404 с. Кремер, вероятностей и математическая статистика = Probability theory and mathematical statistics : учебник для вузов / . – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ, 2009. – 551 с. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций : учебное пособие [для вузов] / под общ. ред. . – Изд. 4-е, стер. – СПб. [и др.] : Лань, 2008. – 445 с.

Дополнительная

Вентцель, и упражнения по теории вероятностей : Учеб. пособие для вузов / , . – 4-е изд., перераб. и доп. – М. : Академия, 2003. – 448 с. Карлов, вероятностей и математическая статистика для экономистов : учеб. пособие для вузов / . – Калининград : Балтиск. ин-т экон. и финансов, 2005. – 203 с. Палий, статистика : Учеб. пособие для вузов / ; М-во образования РФ, Сиб. гос. автомобильно-дорожная акад. (СибАДИ). – Омск : Изд-во СибАДИ, 2003. – 170 с. Секей, Габор. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / Г. Секей ; Пер. с англ. под ред. . – 2-е изд., перераб. и доп. – М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. – 272 с. Теория вероятностей и математическая статистика : Учеб. пособие для вузов / , , и др. ; Под ред. . – М. : ИНФРА-М, 2004. – 287 с.

VI. РЕСУРСНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.

Необходима аудитория с мультимедийным оборудованием и программным обеспечением Microsoft PowerPoint и Microsoft Word

Уральский государственный университет им.

620083, г. Екатеринбург,  пр. Ленина, 51.

E-mail: *****@***ru

Институт управления и предпринимательства

620014, г Екатеринбург, пр. Ленина, 13 б.

Тел.: [phone]

Проезд:

трамваи №№ 2, 6, 13, 15, 18, 26, 27, ост. Сакко и Ванцетти;

Автобусы №№ 21, 27, 28, 41, 52, 61, ост. Маршала Жукова

Сайт Института управления и предпринимательства

imb. usu. ru

на сайте Института Вы можете получить информацию о расписании занятий, приказы и положения, учебные планы, вопросы к госэкзаменам, темы курсовых, контрольных и дипломных работ, а также учебные материалы по различным дисциплинам.

Чтобы иметь возможность доступа к учебным материалам, вы должны зарегистрироваться на сайт Института. После проверки Ваших данных Вам будет предоставлен доступ к учебным материалам.

Добро пожаловать!