МКОУ «Сордоннохская средняя общеобразовательная школа им. »
Автор: учитель математики
Учитель математики:
2015г.
Содержание
Введение ………………………………………………………………………………………..1
Решение нестандартных задач
Задача гениального Гаусса…………………………………………………………………….…. 3
Куры и кролики …………………………………………………………………………………….3
Взвешивания на чашечных весах (без гирь)………………………………………….………... 4
Взвешивания на чашечных весах (с гирями)…………………………………………………….4
Фальшивые монеты…………………………………………………………………………………5
Принцип Дирихле …………………………………………………………………………………..5
Комбинации чисел…………………………………………………………………………………..6
Среднее арифметическое…………………………………………………………………………...6
Переливания…………………………………………………………………………………………7
Комбинаторика
Факториал……………………………………………………………………………………………9
Перестановки………………………………………...……………………………………………...9
Размещения...……………………………………………………………………………………...10
Сочетания……………………………………..…………………………………………………...10
Подборка задач из урока «Экскурсия по полюсу холода», учителя математики МКОУ
«Сордоннохская СОШ им. » ………………………....11
Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейные уравнения с параметрами ……………………………………………….........……..13
Линейные неравенства с параметрами…………………………………………………………14
Признаки делимости чисел ………………………………………………………………….16
Задания олимпиады весенней математической школы…………………………………….18
Список литературы …………………………………………………………………………….19
Дорогой учащийся!
- учитель математики МКОУ «Сордоннохская средняя общеобразовательная школа им. », Оймяконского улуса, Республики Саха (Якутия)
Учитель I квалификационной категории
Абсолютный победитель гранта Главы МО «Оймяконский улус (район)» улусного конкурса профессионального мастерства «Лучший педагог 2012 года Оймяконского улуса»
Победитель Республиканского конкурса профессионального мастерства «Учитель года-2013», лауреат в номинации «Учитель Арктики»
Отличник образования РС(Я).
В последние годы в нашей стране, как и во многих других странах, наблюдается значительный рост интереса к проблемам школьного математического образования. Это связано с тем, что значение математики в жизни человеческого общества возрастает с каждым днем. Трудно найти такую область знания, где математика не играла бы никакой роли.
Хорошо известно, что развитие наук в последнее время характеризуется их математизацией — проникновением в них математических методов и математического стиля мышления. Через несколько лет, когда сегодняшние учащиеся вступят на самостоятельный жизненно-трудовой путь, математизация наук и профессий приобретет уже очень широкий размах.
Вот почему математика — один из важнейших учебных предметов. Она приобретает особое значение в связи с необычайным ростом науки, технического прогресса в нашей стране.
Мы стремимся к тому, чтобы все наши учащиеся лучше знали математику, учились самостоятельно математически мыслить, стремимся развивать математические способности у каждого.
Мы надеемся, что материалы из весенней математической школы помогут вам увидеть и понять многогранность и неповторимость математики. Опыт работы нашей школы, поможет Вам более успешно решать нестандартные задачи по математике.
Ребята, которые не смогли посетить школу, смогут найти для себя в данной работе интересные и нужные материалы для саморазвития. Здесь собраны часть материалов, которые были предложены нами в первой весенней математической школе одаренным детям Оймяконского улуса.
Желаю Вам дальнейших успехов на необъятном и удивительном мире математики. Развивайтесь, учитесь, творите!
С уважением Алексей Александрович Егоров
Решения нестандартных задач по математике
Задача гениального Гаусса:
Опорная задача: Найти сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10.
Решение: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 ∙ 5 = 55
Аналогичные задачи:
1. Вычислите: 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 18 + 19 + 20.
2. Найти сумму чисел от 1 до 14.
Развивающие задачи:
1. Найти сумму чисел от 1 до 9.
2. Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?
3. Имеется 9 гирь весом 1г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г, 8 г, 9 г. Можно ли разложить на три кучки равным весом?
Куры и кролики:
Опорная задача: У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 3 головы и 8 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?
Решение: Начнем с того, что у кур 1 голова и две ноги, а у кроликов 1 голова и 4 ноги. Значит, если всего вместе ног 8, то кроликов может быть не больше одного, в противном случае ног для кур не хватит. Из этого следует, что кролик один и кур двое.
Аналогичные задачи:
У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 5 голов и 14 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?2. У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 9 головы и 28 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?
Развивающие задачи:
1. Ирина Сергеевна выращивала страусов и крокодилов. Всего их у нее было 15 голов и 50 ног. Сколько было страусов и сколько крокодилов?
2. Во дворе гуляли 3 петуха и несколько медвежат. У всех у них было 14 ног. Сколько медвежат было во дворе.
3. По окончании игры несколько футболистов присели отдохнуть: кто – на обыкновенный стул, а кто – на трехногую табуретку. Всех ног – человеческих и деревянных у занятых футболистами стульев и табуреток, оказалось ровно 39. Сколько стульев и табуреток занято?
Взвешивания на чашечных весах (без гирь):
Опорная задача: На одной чашке весов 2 одинаковых яблока и 1 груша, на другой чашке – 1 такое же яблоко и 2 такие же груши. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?
Решение: Будем брать с каждой чашки весов по одинаковому фрукту. После того как мы возьмем по одной груше и по одному яблоку с каждой чашки весов на одной чашке весов останется одно яблоко, на другой одна груша, при этом равновесие сохранится. Значит яблоко и груша весят одинаково.
Аналогичная задача:
На одной чашке весов 5 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке – 4 таких же яблока и 4 такие же груши. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?
Развивающие задачи:
5 помидоров и 2 огурца весят столько же, сколько 9 помидоров и 1 огурец. Что тяжелее 8 помидоров или 2 огурца? Кирпич весит полкирпича и 1 кг. Сколько весит кирпич? У Оли и Кати столько же яблок, сколько у Коли и Толи. У Кати 5 яблок, а у Коли 8 яблок. У кого яблок больше: у Оли или у Толи?Взвешивания на чашечных весах (с гирями):
Опорная задача: Как на чашечных весах уравновесить груз массой 16 г с помощью набора из четырех гирь: 1г, 3г, 9г, 27г? Разрешается класть гири на обе чашки весов.
Решение: Сначала посчитаем сколько всего граммов веса (гирь и груза)в нашем распоряжении: 16+1+3+9+27=56 граммов. Значит, на каждой чашке весов должно быть по 28 граммов. Из набора гирь легко видно, что 28 граммов можно получить с помощью гирь 27г и 1г, их мы поставим в одну чашку, а все остальное вместе с грузом в другую.
Аналогичная задача:
Как на чашечных весах уравновесить груз массой 47 г с помощью набора из пяти гирь: 1г, 3г, 9г, 27 г, 81г? Разрешается класть гири на обе чашки весов.
Развивающие задачи:
У вас имеется мешок сахара. Как, имея чашечные весы и четыре гири весом 1 кг, 3 кг, 9 кг взвесить сахар весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг,…, 13 кг? В пакете 3 кг 600 г крупы. Как используя чашечные весы и одну гирю в 200 г, развесить эту крупу в 2 пакета по 1 кг, сделав только три взвешивания?3. Имеется 9 кг крупы и гири в 50 г и 200 г. Каким образом в три приема отвесить на чашечных весах 2 кг крупы?
Фальшивые монеты:
Опорная задача: Из 3 монет одна фальшивая и она легче других. Как найти ее одним взвешиванием на двух чашечных весах без гирь?
Решение: Выберем любые две монеты и взвесим их. У нас получиться два возможных случая: монеты равные или одна монета тяжелее другой. Исходя из условия задачи мы определим, что в первом случае фальшивой окажется та монета, которая осталась, т. к. если монеты равные, то они настоящие. Во втором случае фальшивая та в которой весы показывают легкий вес.
Аналогичные задачи:
Из 9 монет одна фальшивая и она легче других. Как найти ее двумя взвешиваниями на двухчашечных весах без гирь? Из 27 детали одна бракованная. Она тяжелее других. Как найти ее тремя взвешиваниями на двухчашечных весах без гирь?Развивающие задачи:
Среди 21 монеты одна фальшивая. Как двумя взвешиваниями на весах с двумя чашечками без гирь определить, легче она или тяжелее? Из 26 деталей одна бракованная. Она тяжелее других. Как найти ее тремя взвешиваниями на двух чашечных весах без гирь? Среди 17 монет одна фальшивая. По виду ее отличить от остальных невозможно. Определите фальшивую монету с помощью трех взвешиваний на весах с чашечными весами без гирь, если известно, что фальшивая монета легче, чем настоящая.Принцип Дирихле:
Опорная задача: Можно ли посадить 7 кроликов в 3 клетки, так чтобы в каждой было не больше 2 кроликов?
Решение: Посчитаем максимальное количество кроликов которых мы можем посадить в клетки: 3∙2=6 кроликов. Значит как минимум 1 кролик останется вне клетки. Нельзя
Аналогичная задача:
В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?
Развивающие задачи:
В школе 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день. В 7 классе обучается 20 учащихся. В первой четверти они по трое дежурили по классу. Могло ли так случиться, что в некоторый момент каждый из учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу? В Якутске живут не меньше 260 тысяч человек в возрасте не более 100 лет. Докажите, что в Якутске найдутся 7 человек, родившихся в один год и один день.Комбинации чисел:
Опорная задача:
Сколько существует различных двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
Решение: Так как цифры в числах четные, то они состоят из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Каждая цифра образует с каждой другой 4 числа, например: цифра 2 образует числа 20, 24, 26 и 28. Исключение составляет цифра 0, она не может стоять в записи первой. Значит всего существует 4∙4=16 чисел.
Аналогичная задача:
Сколько существует различных двузначных чисел, у которых обе цифры нечетные?
Развивающие задачи:
В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если в нем участвуют 12 команд? Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько было всего рукопожатий? Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 6, 0, 8?Среднее арифметическое:
Опороная задача:
Среднее арифметическое двух чисел равно 30, а среднее арифметическое трех других чисел равно 50. Чему равно среднее арифметическое всех пяти чисел?
Решение: Сначала найдем суммы чисел: сумма двух первых чисел равна 30∙2=60, а трех других 50∙3=150. Значит сумма всех пяти чисел равна 60+150=210. Среднее арифметическое пяти чисел равна 210:5=42
Аналогичная задача: Среднее арифметическое пяти чисел равно 35, а среднее арифметическое двух других чисел равно 49. Чему равно среднее арифметическое всех семи чисел?
Развивающие задачи:
Может ли среднее арифметическое 10 целых чисел равняться 4,35. Среднее арифметическое двух чисел равно 26,5, а одно из чисел равно 5. Чему равно другое число. Расстояние от пункта А до пункта В поезд прошел со скоростью 90 км в час, а обратно – со скоростью 100 км в час. С какой средней скоростью двигался поезд?Переливания:
Опорная задача:
С помощью ведер емкостью 4 литра и 9 литров наберите из крана 8 литров воды?
Решение: Решим задачу составив таблицу:
4 литра | 4 | 0 | 4 | 0 |
9 литров | 0 | 4 | 4 | 8 |
Сначала наполним 4-х литровую емкость. Перельем из 4-х литровой емкости в 9-ти литровую. В 9-ти литровой емкости окажется 4 литра воды. Наберем воды в 4-х литровую емкость. Перельем воду из 4-х литровой емкости в 9-ти литровую. Всего в девятилитровой емкости окажется 8 литров воды.
Аналогичная задача:
Используя два кувшина, емкостью 3 литра и 7 литров, наберите из бочки с водой 4 литра воды.
Развивающие задачи:
Из полного воды 12-литрового бидона наберите с помощью пустых бидонов емкостью 9 литров и 5 литров, 8 литров воды. Имеются песочные часы на 3 мин и 7 мин. Надо опустить яйцо в кипящую воду ровно на 4 мин. Как это сделать с помощью данных песочных часов? С помощью бидонов емкостью 2 литра и 5 литров наберите из бочки с водой 4 литра воды.
Комбинаторика
Факториал: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом. n! = 1∙2 ∙3 ∙… ∙(n-1) ∙n
Опорная задача: Вычислите: 5!
Решение: 5!=1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5=120
Аналогичная задача: Вычислите: 
Развивающие задачи:
- Вычислите 
- Вычислите 
Перестановки: Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками и вычисляются по формуле Pn = n!
Опорная задача: В расписании на понедельник шесть уроков: история, алгебра, геометрия, физкультура, биология, русский язык. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом? :
Решение: Так как алгебра и геометрия стоят рядом, то их можно рассмотреть как один предмет. Тогда в расписании надо менять не 6 предметов а 5. Это можно сделать Р5 способами. Уроки математики можно менять местами Р2 способами. Значит способов составления расписания равно произведению Р5∙Р2= 5!∙2!=240
Аналогичная задача: Сколько шестизначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4,5,6 ?
Развивающие задачи:
- В соревнованиях участвовали четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
- По плану Тимуровцы ребята должны посетить пять домов. Причем дома №! и №2 должны стоять рядом. Сколько различных вариантов посещения домов можно составить?
Размещения: Комбинации из k элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называется размещениями и вычисляются по формуле 
Опорная задача: Сколькими способами можно расположить 3 шара в пять ячеек?
Решение: 
Аналогичная задача: Двоим экскурсантам нужно переправиться через реку на семиместной лодке. Сколькими способами могут расположиться экскурсанты на лодке?
Развивающие задачи:
- Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи чисел) можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
- На берегу реки турист набрал номер телефона по рации. Сколько пятизначных чисел могло получиться при наборе номера телефона, если известно, что одинаковых цифр в номере телефона нет и он не начинается с нуля?
Сочетания: Комбинации из k элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом, называется сочетаниями и вычисляются по формуле 
Опорная задача: В классе 20 учащихся. Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных по классу?
Решение: Выбрать двух учащихся из 20 можно с помощью сочетания 
Аналогичная задача: В классе 20 учащихся. Сколькими способами можно выбрать двоих дежурных по классу?
Развивающие задачи:
- Руководителю экскурсии нужно выбрать из 10 участников шестерых для товарищеского матча по волейболу с местной командой. Сколькими способами руководитель может выбрать из них шестерых участников?
- В группе экскурсантов 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории около базы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Подборка задач из урока «Экскурсия по полюсу холода», учителя математики МОУ «Ючюгейская СОШ»
Арылаховой Нюргуяны Иннокентьевны
1. В восьмиместную палатку, расположились пятеро туристов. Сколькими способами они могут разместиться в палатке?
2. Вычислите 
и вы узнаете, чему равна площадь Оймяконского улуса в квадратных километрах.
3. Вычислите 
и вы узнаете площадь бассейна реки Индигирка в квадратных километрах.
4. В Оймяконском улусе 7 муниципальных образований: посёлок Артык, посёлок Усть-Нера, село Оймякон, село Томтор, село Терють, село Сордонноох, село Ючюгей. Сколькими способами вы можете составить маршрут экскурсии, если ваш конечный пунк «Дворец Чысхана», который находится в селе Томтор?
5. Вычислите: 
и вы узнаете одну из самых низких температур зафиксированных на северном полушарии?
6. Группа туристов из 7 человек запланировали прогулку по озеру на лодке. Им необходимо выбрать двоих гребцов из своей группы. Сколькими способами они могут это сделать?
7. Название реки состоит из 9 букв, пять из которых гласные. Сколькими способами можно расположить гласные буквы с 1 по 9 местах?
8. Двоим экскурсантам нужно переправиться через реку на семиместной лодке. Сколькими способами могут расположиться экскурсанты на лодке?
9. На вершину горы ведут семь дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору?
10. По плану экскурсии мы должны посетить пять станций. Причем станции «Факториал» и «Перестановки» должны стоять рядом. Сколько различных вариантов посещения станций можно составить?
Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейные уравнения с параметром:
Уравнение аx=b, где х - неизвестное, b-некоторое число, а - дан в виде параметра называется линейным уравнением с параметром.
При решении линейных уравнений с параметрами необходимо обратить внимание на следующие моменты:
1.Предлагаемый ответ надо проверить на возможность в зависимости от значений параметра и области допустимых значений;
2.При возведении в четную степень надо обеспечить неотрицательность обеих частей уравнения
Решением стандартного линейного уравнения ах=b является следующий ответ:
1. при а≠0 х=b/a
2. при а=0, b=0 х-любое действительное число;
3. при а=0, b≠0 x-нет решений
Опорная задача:
Для всех а решить уравнение (а2-4)х=а2-3а+2;
Решение: (а2-4)х=а2-3а+2 ⬄ (а-2)(а+2)х=(а-1)(а-2)
Ответ:
при а=2 х-любое действительное число;
при а=-2 х-нет решения;
при а≠2, а≠-2 
Аналогичная задача:
Для всех а решите уравнение (a2-4)x=a+2
Развивающие задачи:
Для всех а решите уравнение (a-4)2x=a2-1; Для всех а решите уравнение a(x+2)=a2+1-2x; Для всех а решите уравнение (c2-4)x=(c+2)(c+1);Линейные неравенства с параметром:
Неравенства вида x<b, ax>b, ax≤b, ax≥b, где х – неизвестное, b-некоторое число, а – дан в виде параметра называются линейными неравенствами с параметрами.
При решении линейного неравенства с параметрами необходимо обратить внимание на следующие моменты:
1. предлагаемый ответ надо проверить на возможность в зависимости от значений параметра и области допустимых значений;
2. при возведении в четную степень надо обеспечить неотрицательность обеих частей неравенств;
Решением следующих стандартных неравенств являются ответы:
а) ах≥b
; 2. при a<0, 
;
3. при а=0, b≤0, x - любое действительное число;
4. при а=0, b>0, х-нет решений.
б) ax<b
1. при а>0, 
;
2. при а<0, 
;
3. при a=0, b≤0, х-нет решений;
4. при а=0, b>0, х-любое действительное число.
Опорная задача:
Для всех а решить неравенство (а2-5а+6)х<а2-4;
Решение: (а2-5а+6)х<а2-4 ⬄ (a-2)(a-3)x<(a+2)(a-2)
Ответ: при ає(-∞;2)U(3;+∞) 
;
при 2<a<3 
;
при a=2 x-нет решений;
при а=3 х-любое действительное число.
Аналогичная задача:
Для всех а решить неравенство (a2-4)x≤a+2
Развивающие задачи:
Для всех а решить неравенство ax≥7 Для всех а решить неравенство (t+3)2x<t+3; Для всех а решить неравенство (8-a)x+4>0
Признаки делимости чисел
Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.
-Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
-Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3
Признак делимости на 4:Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5
Признак делимости на 6: Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3
Признак делимости на 7: Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
Признак делимости на 8: Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули, или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11: На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.
Признак делимости на 12: Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13: Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13
Признак делимости на 14: Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15: Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17: Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17
Признак делимости на 19: Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19
Признак делимости на 23: Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23
Признак делимости на 25: Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25
Признак делимости на 99: Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99
Признак делимости на 101: Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>1)
Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Олимпиадные задания весенней математической школы
Имеется 9 гирь весом 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г, 8 г, 9 г. Можно ли разложить их на три кучки с равным весом?
У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 50 голов и 140 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?
У вас имеется ящик с конфетами. Как, имея чашечные весы и три гири весом 1 кг, 3 кг, 9 кг взвесить конфеты весом 7 кг?
Можно ли с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить хотя бы одну настоящую монету из 5 одинаковых по внешнему виду монет, если известно, что среди этих монет 3 настоящих и 2 фальшивых, одна из которых легче, а другая тяжелее настоящих монет?
Два числа составлены из цифр 1, 3, 5, 7. Может ли одно из них быть в 2 раз больше другого?
Отец старше сына на 25 лет. Через сколько лет возраст отца будет в три раза больше возраста сына?
Из канистры, содержащей 10 литров бензина, отлейте 6 литров бензина, используя бидоны емкостью 9 литров и 5 литров.
К числу 37 припишите справа и слева одну и ту же цифру, такую, чтобы полученное четырехзначное число разделилось на 6.
Сколько четырехзначных чисел можно составить используя по одному разу цифры 0, 2, 4, 6?
В классе 25 учеников. Каждый день учебы дежурит один ученик с класса. Сколько учеников продежурят ровно по 9 раз за весь учебный год? (В году 34 недели учебы, выходной – воскресенье)
Список литературы
, Математические олимпиады Московской области. – М.: Изд-во МФТИ, 2003. – 224 с. , Внеклассная работа по математике. – М.: Просвещение, 1984. Ну-ка реши! - М.: Просвещение, 1998. , , Решение олимпиадных задач по математике.-Якутск: ДНСМО МО РС(Я), 2002. , , Олимпиады по математике города Якутска 1995-2001- Якутск ИРО, 2002. Нестандартные математические задачи. Из опыта работы школьным учителем – Чапаево: ФМФ «Ленский край», 2005. Кенгуру. Задачи международного математического конкурса – игры. Выпуск 5. СПб./ и др. – СПб, 2000 . Кордемский смекалка. – М.: Просвещение, 2000. Нестандартные задачи на уроках математики в четвертом классе. – М.:Илекса, 2003. , Математическая шкатулка.-М.: Просвещение, Живая математика. – М.: Столетие, 1994. Занимательная геометрия. – М.: Триада – Литера, 1994. Математические олимпиады младших школьников: Книга для учителя: Из опыта работы. – М.: Просвещение, 1990. Математика сборник задач.- Спб.:СМИО Пресс,2000. Тысяча и одна задача по математике: кн. Для учащихся 5-7 кл.-М.:Просвещение, 2005. , Задачи на смекалку.- М.:Просвещение,2000. Зачем нужно решать задачи?: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1996. , , Олимпиады по математике города Якутска 1995-2001- Якутск: 2001