УДК 519.714.24 + 681.51

А. Ю. КУСТОВ

ИПУ РАН, Москва

СИНТЕЗ ФИЛЬТРА, ФОРМИРУЮЩЕГО ГАУССОВСКУЮ ОКРАШЕННУЮ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ С НЕНУЛЕВЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ,
ПО ЗАДАННОМУ УРОВНЮ СРЕДНЕЙ АНИЗОТРОПИИ

Для моделирования динамики объекта управления с входными возмущениями из определенного класса необходимо иметь генератор данного типа возмущения. В работе рассмотрена задача синтеза формирующего фильтра, допускающего представление в виде мультиплексного соединения нескольких фильтров меньшей размерности, и генерирующего последовательность гауссовских случайных векторов с ненулевым математическим ожиданием и заданным уровнем средней анизотропии. Приведен численный пример – при наличии в соединении одного одномерного фильтра.

Введение

Анализ систем, описывающих объект управления, синтез регуляторов для них, а также моделирование их динамики невозможны без учета класса входных возмущений, действующих на объект. В классической H2/LQG-теории управления в качестве входных возмущений рассматривается гауссовский белый шум, но в реальных ситуациях входные воздействия могут отличаться от него. Для описания меры отличия сигналов от заданного (эталонного) используют различные подходы и понятия.

В анизотропийной теории управления в качестве меры отличия используется понятие относительной энтропии, которая характеризует различие между некоторым случайным вектором (элементом входной последовательности) и случайным вектором со стандартным нормальным распределением (эталонным вектором) [1,2]. При малых значениях уровня неопределенности входное возмущение «близко» к гауссовскому белому шуму, при больших значениях класс входных возмущений «увеличивается».

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Предлагаемый доклад посвящен задаче синтеза формирующего фильтра, генерирующего последовательность гауссовских случайных векторов с ненулевым средним, по заданному уровню средней анизотропии – характеристике неопределенности.

Синтез формирующего фильтра

Предварительные сведения

Для описания различия сигналов (или меры неопределенности) в теории информации используется понятие относительной энтропии [1,2]. Относительной энтропией случайного m-мерного вектора W с плотностью вероятности f относительно случайного m-мерного вектора V с плотностью вероятности g называют число

D(f||g)≜Elnfg=Rm fxlnf(x)g(x)dx1…dxm,                 (1)

где принято соглашение 0ln0=0.

Если в качестве функции g выбрать

gx=pm,λx=2р-m2exp-xTxλ,                 (2)

а в качестве функции f будет выступать

fx=2рm|Σ|-12exp-x-µTΣ-1x-µ,                (3)

где µ - среднее значение вектора W, а Σ - его ковариационная матрица, то формула для относительной энтропии будет иметь вид

D(f|pm,λ=Elnf-m2ln2рλ+trΣ+µ22λ.                 (4)

Анизотропией случайного вектора W называют его минимальную меру отличия (относительную энтропию) от векторов из множества

pm,λx|λ>0,                                        (5)

т. е.

AW=minλ>0D(f|pm,λ=-12ln detmΣtrΣ+µ2.                (6)

Средней анизотропией последовательности wk m-мерных случайных векторов называют предел усреднения

AW=limN→∞AW0:N-1N,                                (7)

где

W0:N-1=w0…wN-1.                                (8)

- так называемый расширенный вектор последовательности.

Теорема 1. Пусть формирующий фильтр, генерирующий векторы последовательности, имеет вид

                        (9)

где матрица A – асимптотически устойчивая, т. е. , матрица D – невырожденная, и . Тогда средняя анизотропия последовательности равна

                        (10)

где матрицы Σ и Ξ связаны с решениями P и R уравнений Ляпунова и Риккати формулами:

        (11)

Постановка и решение задачи

Пусть задан уровень средней анизотропии (7) последовательности, сгенерированной фильтром (9) при постоянном среднем . Требуется найти множество матриц A, B,C, D фильтра и вектор , удовлетворяющих (10),(11), и допускающих некоторую параметризацию.

В случае если размерность векторов последовательности равна m=1, матрица A фильтра – скалярная, , то при обозначениях уравнения (10),(11) Теоремы 1 примут вид

                               (12)

                               (13)

                        (14)

                                (15)

                        (16)

а уравнение Риккати перепишется в виде

                               

  (17)

Уравнение (17) можно привести к квадратному уравнению относительно переменной с положительным дискриминантом путем умножения слева на и справа на . Таким образом, после всех преобразований, его решение имеет вид

                        (18)

где Таким образом, в случае и уровень средней анизотропии связан с коэффициентами фильтра соотношениями

                               (19)

где

                                (20)

                        (21)

                        (22)

Фиксируя 3 неизвестных из 4х, получаем одно алгебраическое уравнение относительно одного неизвестного.

Решение общего случая достигается с помощью приема сведения части формирующего фильтра к одномерному. Пусть матрицы A, B,C, D фильтра – блочно-диагональные, т. е.

                       (23)

т. е. система (9) заменится на r систем меньшей размерности:

        (24)

В этом случае уравнение для средней анизотропии представимо в виде

        (25)

где матрицы и выражаются через решения и соответственно уравнений Ляпунова и Риккати:

        (26)

При m>1 и описанном выше блочно-диагональном представлении матриц A, B,C, D формирующего фильтра блоков из r являются скалярными, то для средней анизотропии возможно следующая запись:

                (27)

где

              (28)

                  (29)

                 (30)

Пример

Для иллюстрации описанного метода построим формирующий фильтр, генерирующий 3-мерные случайные векторы гауссовской последовательности со средней анизотропией и допускающего представление

        (31)

с неизвестными a, b,c, d,µ.

Для получения формулы для нахождения матожидания по известным матрицам фильтра раскроем (27):

                       (32)

Фиксируя в качестве a, b,c, d величины , , , (данный набор не является единственным, и служит лишь для демонстрации), получим .

С учетом найденных коэффициентов a, b,c, d,µ и с помощью замен

                        (32)

                        (33)

в которых первая матрица – любая невырожденная, а вторая – унитарная, перепишем формирующий фильтр (31) в виде

(34)

Данный формирующий фильтр генерирует последовательность гауссовских случайных векторов заданной  размерности m=3 с уровнем средней анизотропии . Кроме того, он лишен исходного недостатка, заключающегося в блочно-диагональном представлении его матриц.

Результаты моделирования – генерации последовательности 3-мерных гауссовских случайных векторов с помощью фильтра (34) – представлены на рис.1.

Рис.1. Входной гауссовский белый шум (сверху) и выходная окрашенная последовательность с уровнем средней анизотропии (снизу).

Заключение

В работе приведен метод синтеза формирующего фильтра, генерирующего гауссовские окрашенные последовательности с ненулевым математическим ожиданием. Указанный метод заключается в представлении фильтра в виде мультиплексного соединения фильтров меньших размерностей, хотя бы один из которых имеет размерность .

ЛИТЕРАТУРА


A. V.Semyonov, I. G.Vladimirov and A. P.Kurdyukov. Stochastic approach to H∞-optimization. Proc. Of the 3rd Conference on Decision and Control, USA, 1994, Vol.3, pp.2249-2250. I. G.Vladimirov, A. P.Kurdyukov and A. V.Semyonov. Anisotropy of Signals and the Entropy of Linear Stationary Systems. Doklady Math., 1995, Vol.51, pp.388-390.

Текст доклада согласован с научным руководителем (д. т.н., проф., ИПУ РАН)

  Научный руководитель д. т.н., проф.