НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет Прикладной математики и информатики
Кафедра Вычислительных технологий
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан факультета прикладной математики
и информатики
______________
«___» __________ 2009 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Уравнения математической физики»
ООП:
010500 «Прикладная математика и информатика»; квалификация – бакалавр прикладной математики и информатики
Факультет Прикладной математики и информатики
Курс III Семестр 5,6
Лекции 53 час.
Практические (семинарские) занятия 18 час.
Лабораторные работы 34 час.
Курсовая работа 6 семестр
Самостоятельная работа 99 час.
Экзамен 5, 6 семестр
Всего 204 час.
Новосибирск
2009
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 510200 – Прикладная математика и информатика.
Регистрационный номер 200ен/бак., дата утверждения 23.03.2000 г.
Шифр дисциплины в ГОС: ОПД. Ф. 04, федеральный компонент
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры прикладной математики
– протокол № ___3___ от ______10 ноября_______ 2009 г.
Программу разработал:
д. т.н., профессор _______________
Заведующий кафедрой “Вычислительные технологии ”,
д. ф.-м. н., профессор _________________Шокин Ю. И.
Ответственный за основную
Заведующий кафедрой “Вычислительные технологии ”,
__________ Шокин Ю. И.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 20 /20 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения: __________________
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры «___» _____20 г.
Заведующий кафедрой «___» ______20 г.
Внешние требования
Таблица 1
Требования ГОС к обязательному минимуму содержания учебной дисциплины
Шифр дисциплины | Содержание учебной дисциплины | Часы |
ОПД. Ф.04 | Уравнения математической физики: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач для уравнений математической физики. | 204 |
1.3.Квалификационные требования
Бакалавр прикладной математики и информатики должен быть подготовлен к выполнению исследовательской деятельности в областях, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии; к разработке и применению современных математических методов и программного обеспечения для решения задач науки, техники, экономики и управления; к использованию информационных технологий в проектно-конструкторской, управленческой и финансовой деятельности.
7.1. Требования к профессиональной подготовленности бакалавра прикладной математики и информатики
Бакалавр прикладной математики и информатики должен знать и уметь использовать:
● методы исследования основных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики;
численные методы решения типовых математических задач и уметь применять их при исследовании математических моделей;Бакалавр прикладной математики и информатики должен иметь опыт:
- работы на различных типах ЭВМ, применения стандартных алгоритмических языков, использования приближенных методов и стандартного программного обеспечения для решения прикладных задач, пакетов прикладных программ и баз данных, средств машинной графики, экспертных систем и баз знаний.
2. Особенности (принципы) построения дисциплины
Таблица 2
Особенности (принципы) построения дисциплины
Особенность (принцип) | Содержание |
Основание для введения дисциплины в учебный план направления | Стандарт направления, дисциплина федерального компонента |
Адресат дисциплины | Студенты направления: 010500 – прикладная математика и информатика. |
Главная цель дисциплины | Обеспечение базы подготовки специалиста, теоретическая и практическая подготовка в области методов численного и аналитического решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и интегральных уравнений, получение навыков решения прикладных задач с использованием ЭВМ, приобретение знаний, необходимых для изучения последующих дисциплин |
Ядро дисциплины | Аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типов, численные методы – конечно-разностные методы, метод конечных элементов, метод конечных объемов. |
Требования к начальной подготовке, необходимые для успешного освоения дисциплины | Для успешного изучения курса студенту необходимо знать математический анализ, функциональный анализ, линейную алгебру, дифференциальные уравнения, языки программирования. |
Уровень требований по сравнению с ГОС | Соответствует требованиям стандарта |
Объем дисциплины в часах | 53 час лекций, 18 часов практических занятий, 34 часа лабораторных работ |
Основные понятия дисциплины | Математическая модель, дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического, параболического и эллиптического типа, интегральные уравнения Фредгольма и Вольтера, теория потенциала, численные методы решения уравнений математической физики: методы конечных разностей, конечных элементов, конечного объема. |
Обеспечение последующих дисциплин образовательной программы | Методы оптимизации. Метод конечных элементов. |
Практическая часть дисциплины | Практическая часть дисциплины содержит практические занятия, лабораторные работы, курсовая работа (КР). Студенты применяют теоретические положения для решения, как простых задач по отдельным темам, так и комплексной задачи при выполнении КР. Для проведения лабораторных работ и КР используются методические указания. |
Направленность дисциплины на развитие общепредметных, общеинтеллектуальных умений, обладающих свойством переноса, направленность на саморазвитие | Анализ, обобщение, синтез, классификация, абстрагирование, выделение главного, формулирование проблем, формальная постановка задачи. |
2. Цели учебной дисциплины
Таблица 3
После изучения дисциплины студент будет
иметь представление: | |
1 | О классификации дифференциальных уравнений в частных производных (линейных второго порядка) и приведении этих уравнений к каноническому виду. |
2 | О существовании и единственности решений, их непрерывной зависимости от исходных данных, основные теоремы. |
3 | О дискретных аналогах уравнений математической физики, построенных на базе конечно-разностных, конечно-элементных и конечно-объемных аппроксимациях. |
4 | О классических и обобщенных решениях уравнений математической физики. |
знать: | |
5 | Основные типы уравнений математической физики. |
6 | Метод разделения переменных (метод Фурье) для решения гиперболических, параболических и эллиптических уравнений. |
7 | Методы решения краевых задач с помощью функций Грина. |
8 | Теорию потенциала: объема, двойного и простого слоев. |
9 | Интегральные уравнения Фредгольма, Вольтерра и методы их решения. |
10 | Численные методы решения уравнений математической физики: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод конечного объема. |
11 | Решать сеточные уравнения методами, ориентированными на решение СЛАУ с разреженными матрицами. |
12 | Основные алгоритмы построения симплициальных сеток. |
уметь: | |
13 | Решать однородные и неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка гиперболического, параболического, эллиптического типов, начально-краевые задачи, краевые задачи. |
14 | Для эллиптических краевых задач, применяя функции Грина, теорию потенциала, переходить к интегральным уравнениям и решать их. |
15 | Строить дискретные аналоги на основании конечно-разностных, конечноэлементных и конечнообъемных аппроксимаций в двумерных областях на прямоугольных и треугольных сетках. |
16 | Исследовать дискретные модели на устойчивость, сходимость, определять порядок аппроксимации. |
17 | Выписать эквивалентную вариационную постановку для краевых задач эллиптического типа (слабая и сильная формы: метод Галеркина и метод Ритца), учитывающую три типа краевых условий и контактные условия на внутренних границах области решения. |
18 | Вычислять локальные матрицы жесткости и массы для конечноэлементных аппроксимаций и их аналоги для конечнообъемных аппроксимаций. |
19 | Ассемблировать глобальные матрицу и вектор правых частей систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), аппроксимирующих исходную краевую задачу методом конечных элементов (объемов). |
20 | Решать СЛАУ с разреженной матрицей (симметричной и несимметричной) методами, изучаемыми в дисциплине «Численные методы» и «Уравнения математической физики», раздел «Сеточные методы». |
4. Содержание и структура учебной
дисциплины
Структура учебной дисциплины
Лекционные занятия (53час) Таблица 4
Блок, модуль, раздел, тема | Часы | Ссылки на цели курса |
Семестр № 5, модуль 1. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду. Гиперболические уравнения: вывод уравнения колебания струны, формула Даламбера, метод характеристик – задача Коши. | 6 | 1,5 |
Модуль 2. Гиперболические уравнения: краевые задачи, метод Фурье для решения однородных и неоднородных краевых задач. | 4 | 2,4,6 |
Модуль 3. Параболические уравнения: вывод уравнения теплопроводности. Метод Фурье для решения краевых задач параболического типа. Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности, фундаментальное решение. | 4 | 2,4,6 |
Модуль 1. Вывод уравнений движения, неразрывности жидкости (газа), анализ этих уравнений. Уравнения Максвелла, Гельмгольца - векторные краевые задачи. Стационарные и нестационарные процессы. | 4 | 1,5 |
Модуль 4. Эллиптические уравнения. Гармонические функции, фундаментальное решение оператора Лапласа, теорема о среднем арифметическом, принцип максимума, метод Фурье. | 4 | 2,4,6 |
Модуль 4. Эллиптические уравнения. Теория потенциала: объема, двойного и простого слоя, их физический смысл, поверхность Ляпунова, обобщенные решения. | 3 | 2,4,8 |
Модуль 4. Эллиптические уравнения. Функция Грина для задачи Дирихле. Свойства функций Грина, построение функций Грина. | 3 | 2,4,7 |
Модуль 5. Интегральные уравнения. Приведение краевых задач эллиптического типа к интегральным уравнениям, теоремы Фредгольма, методы решения уравнений Фредгольма (второго рода) и Вольтерра. | 3 | 9,14 |
Семестр № 6, модуль 6 -7. Конечноразностная аппроксимация эллиптических краевых задач. Порядок аппроксимации, сходимость. Метод конечных разностей при решении эволюционных задач: явные, неявные схемы, многослойные схемы. Порядок аппроксимации, устойчивость, сходимость. | 6 | 3,10 |
Модуль 6-7. Метод конечных элементов. Сильная и слабая вариационные постановки для эллиптических краевых задач - метод Ритца, Галеркина. Теорема Лакса-Мильграма | 2 | 3, 10 |
Модуль 6-7. Метод конечных элементов. МКЭ-аппроксимации на треугольниках и прямоугольниках; базисные функции – полиномиальные с конечным носителем. Порядок аппроксимации. Сходимость. | 4 | 3,10 |
Модуль 6-7. Метод конечных объемов. Аппроксимация законов сохранения МКО. МКО на прямоугольной и треугольной дискретизации области определения решения. | 3 | 3,10 |
Модуль 6-7. Сеточные уравнения. Основные свойства. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной разреженной матрицей. | 3 | 11, 12 |
Практические занятия (18часов) Таблица 5
Блок, модуль, раздел, тема | Учебная деятельность студентов | Часы | Ссылки на цели курса |
Семестр № 5, модуль 1. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов. Задача Коши для уравнения гиперболического типа. Полуограниченная струна: четное, нечетное продолжение, задача о распространении краевого режима. | Определяет тип уравнения, выполняет замену переменных. Применяя формулу Даламбера, метод характеристик, решает одномерное волновое уравнение: бесконечная и полуограниченная струна, выполняет контрольную работу, проверяющую степень знаний и умений студента в соответствии с указанными целями. | 4 | 5,13 |
Модуль 2. Метод Фурье решения гиперболических уравнений: однородных и неоднородных. | Разделять переменные. Решать задачу Штурма-Лиувилля для трех типов краевых условий: Дирихле, Неймана, третьих краевых условий; учитывать неоднородности в правой части уравнения и краевых условиях. | 3 | 6,13 |
Модуль 3. Метод Фурье решения параболических уравнений: однородных и неоднородных. | Разделять переменные, учитывать неоднородности, формулировать математическую модель по заданному описанию физического процесса. | 3 | 6,13 |
Модуль 4. Эллиптические краевые задачи. Решение с помощью теории потенциала и функции Грина. | Решать задачи (неоднородные) данными методами в областях: круг, сфера. Задачу в круге (Дирихле) решить методом Фурье, потенциалом двойного слоя, функция Грина. | 4 | 6,7,8, 13,14 |
Модуль 5. Решение интегральных уравнений Фредгольма, Вольтерра. Введение в метод конечных разностей (МКР). | Решать уравнения Фредгольма с вырожденным ядром. Аппроксимировать МКР эллиптическую краевую задачу в двумерной области. | 4 | 9,14 |
Лабораторные работы (34 часа) Таблица 6
Семестр № 6 Модуль 6-7. Лабораторная работа №1. Решение нелинейных краевых задач с использованием метода конечных элементов. Метод простой итерации, метод Ньютона. | Программно реализовать метод простой итерации и метод Ньютона для решения нелинейных краевых задач, оттестировать разработанные модули, на различных задачах исследовать на сходимость и сравнить метод Ньютона и метод простой итерации, исследовать влияние параметра релаксации. | 16 | 10,15-19 |
Модуль 6-7. Лабораторная работа №2. Конечноэлементная, конечноразностная и конечнообъемная дискретизация эллиптических и гармонических краевых задач в двумерных областях на прямоугольниках и треугольниках. Генерация глобальной СЛАУ (ассемблирование) по локальным матрицам и различным типам краевых условий. Решение СЛАУ методами, реализованными в лабораторных работах курса «Численные методы». | Разработать и оттестировать соответствующие программные реализации, исследовать точность полученного решения на измельчающихся (вложенных) сетках. Сравнить возможности прямых и итерационных методов при решении данного класса задач. | 10 | 10,12,15-19 |
Модуль 6. Лабораторная работа №3. Методы решения сеточных уравнений (матрица СЛАУ – разреженная, несимметричная). Проекционные методы. Построение базиса подпространства Крылова. Ортогонализация Арнольди, биортогонализация Ланцоша. GMRES, BiCGSTAB. Предобусловливание: неполная LU-факторизация. | Разработать и оттестировать программы: ортогонализация системы векторов (алгоритм Арнольди, Ланцоша), QR-разложение матрицы в верхней форме Хесенберга. GMRES, BiCGSTAB. Исследовать возможности разработанных методов на матрицах, сформированных в предыдущей лабораторной работе. | 8 | 11,20 |
5. Учебная деятельность
В пятом семестре студент выполняет контрольную работу на тему «Определение типа уравнений, приведение уравнений в частных производных к каноническому виду, решение задач о распространении краевого режима». При выполнении контрольной работы студент проявляет навыки, полученные при изучении тем модуля 1 (семестр 5). Проведение контрольной работы обеспечивает выполнение целей № 1,5.
Вариант заданий контрольной работы:
Привести к каноническому виду уравнение:
. Найти закон вынужденных колебаний полуограниченной 
изначально невозмущенной струны, если вынуждающее воздействие описывается формулой (a – скорость распространения колебаний): 
.
Курсовая работа.
В шестом семестре студент выполняет курсовую работу. Тематика курсовой работы связана с решением уравнений гиперболического и параболического типа в неоднородных одномерных, двумерных и трехмерных областях с помощью метода конечных элементов при использовании различных схем дискретизации по времени (список заданий приведен в п.8).
Курсовая работа по УМФ выполняется на основе курсового проекта по численным методам, т. е. студент решает поставленную задачу с использованием тех конечных элементов и определенных на них базисных функций, которые были предусмотрены в задании по курсовому проекту по численным методам (5-ый семестр).
Цели. При выполнении курсовой работы студент приобретает навыки численного решения краевых задач для уравнений в частных производных, описывающих различные физические процессы (в том числе студент будет знать и уметь реализовывать основные алгоритмы, необходимые для решения этих задач, см. цели 15-20). На выполнение курсовой работы предусматривается 40 часов.
Требования к выполнению курсовой работы и оформлению пояснительной записки
По курсовому проекту студент должен представить пояснительную записку, включающую следующие разделы:
1. Постановка задачи:
– решаемое уравнение;
– расчетная область;
– краевые условия.
2. Теоретическая часть:
– дискретизация по времени в соответствии с текстом задания;
– вариационная постановка;
– конечноэлементная дискретизация и переход к локальным матрицам;
– аналитические выражения для вычисления локальных матриц либо схемы численного интегрирования в случае, если интегралы для вычисления локальных матриц предполагается считать численно.
3. Описание разработанных программ:
– структуры данных, используемые для задания расчетной области и конечноэлементной сетки;
– структура основных модулей программы, в том числе генерация портрета СЛАУ, вычисление локальных матриц, генерация глобальных матриц, решение СЛАУ.
4. Описание тестирования программ:
– тестовые примеры с пояснением, что проверяет данный тест;
– полученные результаты.
5. Поведённые исследования и выводы. Исследования включают в себя проведение расчетов на равномерных и неравномерных сетках по времени и пространству, для гиперболических уравнений – установление связи между ними, определение порядка аппроксимации на основе численных экспериментов, исследование устойчивости.
6. Тексты программ.
Правила оценивания курсовой работы.
Курсовая работа должна быть сдана и защищена преподавателю в течении семестра. В ходе защиты студент должен продемонстрировать понимание используемого метода решения, его возможностей и работоспособность программы. Пояснительная записка и защита оцениваются преподавателем по пятибалльной шкале. Оценку «отлично» получает студент, полностью и самостоятельно выполнивший задание, продемонстрировавший владение изученным методом решения задачи, правильно спроектировавший программу (возможно при наличии незначительных ошибок в программах, обнаруженных в ходе тестирования преподавателем, и понимающим способы их исправления) и выполнивший необходимые исследования. Оценку «хорошо» получает студент, выполнивший задание почти полностью (возможно, с небольшими недочетами) и продемонстрировавший понимание изученного метода решения задачи, а также разработавший программу, проходящую основные тесты. Оценку «удовлетворительно» получает студент, понимающий основную суть решаемой задачи, выполнивший большую часть задания, но допустивший существенные ошибки в программах.
Выполненная на «хорошо» или «отлично» курсовая работа может быть в дальнейшем продолжена как выпускная бакалаврская работа.
6. Правила аттестации студентов по учебной дисциплине
Студент, успешно выполнивший контрольную работу (правильно решивший обе задачи) на экзамене от задач на эти темы освобождается.
В шестом семестре до экзамена допускается студент, выполнивший и защитивший все лабораторные работы и курсовую работу.
Процедура проведения экзамена: Экзамен проводится в письменной форме. На экзамене студент демонстрирует умение решать типовые задачи (пример письменного задания см. п.8). Оценку «отлично» получает студент, правильность ответа у которого составляет не менее 80%. Оценку «хорошо» получает студент, правильность ответа у которого составляет не менее 60%. Оценку «удовлетворительно» получает студент, правильность ответа у которого составляет не менее 40%. .
7. Список литературы
7.1. Основная литература
, . Уравнения математической физики.- М.: Наука, 2004. - 724 с. , , . Сборник задач по математической физике.- М.: Наука, 2004. - 687 с. . Основы численных методов: учебник для вузов по направлению "Прикладная математика" / .- М.: Высшая школа, 2005.- 839с , . Векторный метод конечных элементов.- Новосибирск : НГТУ, 2001. - 69 с.7.2. Дополнительная литература
, . Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 589 с. . Лекции об уравнениях математической физики. МЦНМО, 2001. -303с. . Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 431 с. . Задачи по уравнениям математической физике.- М.: Наука, 1975. - 127 с. , . Уравнения математической физики.- М.: Физико-математическая литература, лаборатория базовых знаний, 2000. - 398 с. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов.- М.: Мир, 1977. - 375 с. Л. Сегерлинд. Применение метода конечных элементов.- М.: Мир, 1979. -379 с. . Метод конечных элементов (основы теории, задачи). – Новосибирск : НГУ, 1998. - 165 с. , , . Сеточные методы решения краевых задач математической физики.- Новосибирск : НГТУ, 1998. - 120 с. , . Методы решения СЛАУ большой размерности.- Новосибирск : НГТУ, 2000. - 69 с.
8. Контролирующие материалы для аттестации
студентов по дисциплине
Вариант экзаменационного билета (5-ый семестр).
( время письменного ответа 3 часа)
1. Каноническая форма уравнения параболического типа.
2. Решить одномерное волновое уравнение
6. Потенциал двойного слоя.
7. Формула Даламбера – решение задачи Коши для одномерного уравнения гиперболического типа.
8. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром (определение).
Номера заданий | Номера целей | Уровень целей |
1 | 1,5 | иметь представление, знать |
2 | 6,13 | знать и уметь |
3 | 6,13 | знать и уметь |
4 | 7,14 | знать и уметь |
5 | 6,13 | знать и уметь |
6 | 8 | знать |
7 | 2 | иметь представление |
8 | 9 | знать |
Вариант экзаменационного билета (6-ой семестр).
( время письменного ответа 3,5 часа)
1. Для треугольных элементов, базисные функции – кусочнолинейные, определить локальные матрицы жесткости и массы:
Номера заданий | Номера целей | Уровень целей |
1 | 10,15 | знать и уметь |
2 | 10, 15 | знать и уметь |
