Вопросы к экзамену по курсу «Прикладная математика»
( ФЭУТ, ЗИК, магистры)
Числовые ряды. Основные определения. Критерий Коши сходимости ряда, необходимый признак сходимости. Вычисление суммы сходящегося ряда. Примеры.
Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами. Примеры.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости, признак сходимости Лейбница. Примеры.
Функциональные ряды, область сходимости функционального ряда. Примеры.
Равномерная сходимость функционального ряда, мажоритарный признак Вейерштрасса. Пример.
Степенные ряды. Теорема Абеля и ее следствие. Теорема о радиусе сходимости степенного ряда. Примеры.
Теоремы о непрерывности суммы степенного ряда, о почленном дифференцировании и о почленном интегрировании степенного ряда. Примеры.
Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема о ряде Тейлора функции и ее следствие. Признак разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры.
Понятие линейного пространства, подпространства. Примеры. Декартово произведение множеств. Метрическое пространство. Пример.
Открытые и замкнутые множества метрического пространства. Утверждение об открытых и замкнутых множествах.
Внутренние, внешние, граничные, предельные точки множества E. Утверждение о замкнутости множества. Полное метрическое пространство. Примеры.
Ортогональные системы функций. Примеры.
Коэффициенты Фурье. Теорема Пифагора. Неравенство Бесселя. Пример.
Ряд Фурье. Тригонометрический ряд Фурье, тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме на отрезке [
. Примеры.
Ряд Фурье на промежутках [-l, l] и [a, b]. Примеры.
Теоремы Дирихле, о сходимости в среднем тригонометрического ряда Фурье, о полноте тригонометрической системы.
Теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов Фурье
Утверждение о связи гладкости функции и скорости убывания ее коэффициентов Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Примеры.
Понятие интегрального оператора. Преобразование Фурье и интеграл Фурье. Косинус и синус преобразования Фурье. Примеры.
Преобразование Фурье вещественнозначной функции. Пример. Лемма о преобразовании Фурье локально интегрируемой функции. Пример.
Теорема о достаточных условиях представимости функции интегралом Фурье и ее первое следствие. Пример.
Представимость интегралом Фурье непрерывной, абсолютно интегрируемой на 
функции. Пример.
Второе следствие теоремы о достаточных условиях представимости функции интегралом Фурье. Пример. Интегралы Лапласа.
Прямое и обратное нормированные преобразования Фурье. Утверждение о связи гладкости функции и скорости убывания ее преобразования Фурье.
Утверждение о связи скорости убывания функции и гладкости ее преобразования Фурье. Основные аппаратные свойства преобразования Фурье.
Преобразование Фурье свертки дух функций. Сводная таблица свойств нормированного преобразования Фурье. Пример.
Сводная таблица для нормированного обратного преобразования Фурье. Пример.
