Урок № 5 Тема: Показательные неравенства (стр. 3 )

№ 000 А) . Данное неравенство с одной стороны содержит показательную функцию, с другой стороны линейную. Это неравенство можно решить только функционально-графическим методом. Построим графики функций: и : Находим точку пересечения этих графиков: , эта точка единственная, т. к. является точкой пересечения строго разно-монотонных функций. Абсцисса этой точки является решением уравнения соответствующего исходному неравенству. Но у нас по условию строгое неравенство . Его решением будут все значения , при которых график функции лежит выше графика функции . Это все точки, лежащие левее . Ответ:

№ 000 А) . Данное неравенство будем решать, используя свойства функций и . Заметим, что , тогда имеет место совокупность: . Последнее неравенство строгое – знаменатель дроби не должен обнуляться. Первое неравенство означает, что дробь будет равно нулю, если числитель нуль. Система неравенств отвечает за условие, при котором выражение больше нуля случае, если числитель не нуль. Решим эту систему. . Первое неравенство нет смысла рассматривать. Решим второе неравенство: - показательное неравенство. Заметим, что , неравенство примет вид: . Решим его: . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов того же смысла . Ответ: .

Подведение итогов

Цель: сформулировать итоги урока

Метод: беседа

- Сегодня мы изучили новую тему «Показательные неравенства». Какие неравенства называются показательными?

- Показательными неравенствами называют неравенства вида , где — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

- Какими методами мы можем решать показательные неравенства?

- Функционально-графическим методом, методом перехода от неравенства функций к неравенству аргументов, методом введения новой переменной.

- На чем основам функционально-графический метод?

- Функционально-графический метод основан на использовании при решении неравенства свойств и графиков функций.

- В каком случае, при использовании методом перехода от неравенства функций к неравенству аргументов при решении показательных неравенств мы меняем знак неравенства на противоположный?

- В случае, если основание показательной функции меньше единицы (но больше нуля).

Задание на дом

Цель: закрепление знаний, полученных на занятие, выработка способности их применения.

Метод:  работа с учебником, домашняя работа в тетради

По учебнику: §47, стр. 285- 286. Выучить определение показательного неравенства все теоремы из §47. По задачнику: № 000, № 000. [4, 212-213].

Выполнение задания

№ 000. Решите неравенства.

А) . Воспользовавшись тем, что перепишем заданное неравенство в виде . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство равносильно функций неравенству аргументов того же смысла . Ответ: .	В) . Воспользовавшись тем, что перепишем заданное неравенство в виде . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов того же смысла . Ответ: .
Б) . Воспользовавшись тем, что перепишем заданное неравенство в виде . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов противоположного смысла . Ответ: .	Г) . Воспользовавшись тем, что перепишем заданное неравенство в виде . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов противоположного смысла . Ответ: .

№ 000. Решите неравенства.

А) , замечаем, что , тогда неравенство можно переписать в виде: . Данное неравенство решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное неравенство относительно : методом интервалов, имеем совокупность решений . Но , значит, нам остается решить следующую совокупность неравенств , (что, то же ). Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемая совокупность неравенств функций равносильно совокупности неравенств аргументов того же смысла: . Получаем ответ: .

Б) , замечаем, что , тогда неравенство можно переписать в виде: . Данное неравенство решается методом введения новой переменной: , тогда неравенства примет вид . Решив квадратное неравенство относительно : методом интервалов, имеем систему решений . Но , значит, нам остается решить следующую  решить систему неравенств (что то же ). Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемая система неравенств функций равносильно системе неравенств аргументов того же смысла: . Получаем ответ: .

В) , замечаем, что , тогда неравенство можно представить в виде: . Данное неравенство решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное неравенство относительно : методом интервалов, имеем систему решений . Но , значит, нам остается решить следующую  решить систему неравенств (что то же ). Первое неравенство справедливо , т. к. , т. е. остаётся решить второе неравенство системы: Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов противоположного смысла . Ответ:

Г) , замечаем, , тогда неравенство можно представить в виде: . Данное неравенство решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное неравенство относительно : методом интервалов, имеем совокупность решений . Но , значит, нам остается решить следующую совокупность неравенств , (что, то же ). Первое неравенство не имеет решения, т. к. показательная функция имеет областью значений положительные числа, и, следовательно, не может быть меньше некоторого отрицательного числа. Остаётся решить второе неравенство совокупности: . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов противоположного смысла . Ответ: .