Математика

МАТЕМАТИКА

1. Порядок выполнения вступительного испытания

Вступительный экзамен для поступающих в академию по математике (письменно) имеет целью оценить знания абитуриентов по математике в объёме изученного материала среднего общего образования.

Сложность задач в экзаменационных заданиях не выходит за рамки знаний и умений, которые абитуриент должен освоить по математике.

Экзамен проводится в письменной форме в виде теста и принимается предметной экзаменационной подкомиссией, назначенной приказом начальника академии.

Кандидаты на поступление к сдаче экзамена готовятся самостоятельно. До начала экзамена с абитуриентами проводятся консультации, разъясняется порядок проведения экзамена и предъявляемые требования.

Ответственный секретарь приемной комиссии за 20 минут до начала экзамена выдает председателю предметной экзаменационной подкомиссии экзаменационные задания.

Все записи при выполнении задания производятся только на специальных бланках, выдаваемых абитуриенту вначале экзамена.

Присутствие на экзамене лиц, кроме членов предметной экзаменационной подкомиссии, назначенных экзаменаторами в данную группу, допускается только с разрешения председателя приемной комиссии.

Экзамен проводится потоками в следующем порядке: абитуриенты к началу установленного расписанием времени прибывают к месту проведения экзамена, занимают места в аудитории, после чего доводится порядок проведения экзамена. Абитуриенты получают титульный лист, лист-вкладыш и вариант задания. Заполняют титульный лист в соответствии с требованиями. Вся письменная работа, как в чистовом, так и в черновом вариантах, выполняется только на листах-вкладышах.

Наверху первой страницы двойного листа абитуриент пишет слово «Чистовик» и «Черновик» – на втором. На листах чистовика и черновика запрещается делать какие-либо опознавательные пометки о личности абитуриента, загибать или отрывать углы, отгибать поля и т. д., в противном случае работа будет проверяться также как дешифрованная. На бланке варианта с заданием ничего не пишется. Условия задач можно не переписывать. Решать задачи можно в любом порядке, сохраняя номера, присвоенные им в варианте. Задача считается полностью решенной, если к правильному ответу приведено решение, показывающее, как абитуриент получил ответ.

На выполнение экзаменационного задания отводится до 120 минут. В течение этого времени требуется решить задачи, оформить решение на чистовике и записать ответ.

От абитуриентов требуется продемонстрировать знания основных математических фактов из школьного курса элементарной математики, а также твердые навыки в проведении вычислений (без калькулятора!) и простейших аналитических выкладок.

Рекомендуется решать сначала те задачи, которые видятся более легкими, и заносить их сразу в чистовик (не прибегая к черновику), а потом думать над другими. Если удалось решить все задачи до окончания экзамена, не стоит торопиться сдавать работу. Лучше немного отдохнуть, а затем снова тщательно проверить работу.

При контрольной проверке преподаватель смотрит только чистовик. Если задача не заявлена в чистовике (хотя бы указанием: задачу № – см. в черновике), она не проверяется и не учитывается.

При заполнении бланка ответов необходимо учесть следующее:

не забыть указать номер варианта в бланке; все отрицательные числа должны быть предварены знаком «–»; если неправильно записан ответ к задаче, то следует зачеркнуть неправильный ответ и записать рядом правильный.

Во время проведения вступительного испытания абитуриенты должны соблюдать следующие правила поведения:

работать самостоятельно; не использовать какие-либо справочные материалы (учебные пособия, справочники и т. п., а также любого вида шпаргалки); не разговаривать с другими экзаменующимися; не пользоваться средствами оперативной связи; не пользоваться калькулятором; не покидать пределов территории, которая установлена приемной комиссией для проведения вступительного испытания.

За нарушение правил поведения абитуриент удаляется со вступительного испытания с проставлением 0 баллов за выполненную работу независимо от числа правильно выполненных заданий, о чем составляется акт, утверждаемый председателем приемной комиссии.

Работа оценивается числом правильно решенных задач. Каждое задание содержит 15 задач из различных разделов математики. За правильно решенные задачи с 1 по 5 начисляется по 6 баллов, за остальные задачи начисляется по 7 баллов. Максимально возможное количество баллов – 100. Минимально необходимое количество баллов – 27.

Шкала пересчета баллов за выполнение экзаменационной работы в отметку по пятибалльной шкале:

27-51                – «удовлетворительно»;

52-76                – «хорошо»;

77-100        – «отлично».

2. Требования, предъявляемые к уровню подготовки абитуриентов

Решение задач

Абитуриенты должны знать:

алгоритм составления уравнения, неравенства для решения задач;

приемы решения квадратных, дробно - рациональных уравнений, квадратных неравенств методом интервалов, по знаку старшего коэффициента.

Абитуриенты должны уметь:

выполнять арифметические действия;

анализировать реальные числовые данные, осуществлять практические расчеты, пользоваться оценкой и прикидкой практических результатов;

моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры;

использовать приобретенные знания и умения в практической и повседневной жизни.

Выражения преобразования

Абитуриенты должны знать:

методы преобразования числовых выражений, содержащих корни, степень, логарифмы;

способы преобразования тригонометрических и показательных выражений.

Абитуриенты должны уметь:

применять методы преобразования числовых выражений, содержащих корни, степень, логарифмы на практике;

применять способы преобразования тригонометрических и показательных выражений на практике.

Начало математического анализа

Абитуриенты должны знать:

свойства функции,

алгоритм исследования функции,

геометрический и физический смысл производной,

функциональные методы решения уравнений и неравенств

Абитуриенты должны уметь:

находить область определения функции, множество значений функции;

исследовать функции на экстремум, четность, периодичность;

находить производную функции;

находить наибольшее и наименьшее значения функции, экстремумы функции;

использовать функциональный подход в решении нестандартных уравнений и неравенств.

Уравнения и неравенства. Системы уравнений

Абитуриенты должны знать:

основные методы решения уравнений,

основные методы решения неравенств,

методы решения систем уравнений,

нестандартные приемы решения уравнений и неравенств.

Абитуриенты должны уметь:

применять методы решения уравнений на практике,

применять методы решения систем уравнений на практике,

использовать свойства монотонности функции при решения логарифмический и показательных неравенств.

Геометрия

Абитуриенты должны знать:

свойства геометрических фигур (аксиомы, определения, теоремы),

формулы для вычисления геометрических величин.

Абитуриенты должны уметь:

применять свойства геометрических фигур для обоснования вычислений,

применять формулы для вычисления геометрических величин,

записывать полное решение задач, приводя ссылки на используемые свойства геометрических фигур.

3. Примерный вариант задания

Задание №1. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель?

Задание №2. В городе N живет 2000000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых работает?

Задание №3. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 22 января.

Задание №4. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
1. План "0"	Нет	2,5 руб. за 1 Mb.
2. План "500"	550 руб. за 500 Мb трафика в месяц	2 руб. за 1 Mb сверх 500 Mb.
3. План "800"	700 руб. за 800 Mb трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Mb сверх 800 Mb.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Mb в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb?

Задание №5. На клетчатой бумаге с клетками размером изображена трапеция. Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Задание №6. В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

Задание №7. Найдите корни уравнения:

Задание №8. В ΔABC ∠C = 900, высота CH равна 7, BH = 24. Найдите .

Задание №9. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции

Задание №10. Сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. (Ответ выразите в см3)

Задание №11. Найдите значение выражения .

Задание №12. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? (Ответ в метрах)

Задание №13. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Задание №14. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. (Ответ дайте в км/ч.)

Задание №15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .