Курс по математике «Замечательные уравнения и неравенства»

Пояснительная записка

  Курс  по математике «Замечательные уравнения и неравенства» для 11 класса рассчитан на 34 часа в год, один раз в неделю. В ходе изучения курса обучающиеся знакомятся с  методами решения алгебраических задач: уравнений, неравенств. Основной акцент делается на логике решения – на методах равносильных преобразований, позволяющих максимально упростить задачу; на привлечение графических, координатных и прочих наглядных приемов.

  Многие математические задачи сводятся к решению уравнений и неравенств. За время обучения математике школьникам приходится решать достаточно много уравнений и неравенств: линейных, квадратных, тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных. Обучение методам решения уравнений и неравенств традиционно является важнейшей частью школьного курса математики. При решении уравнений и неравенств помимо технических приходится преодолевать и логические трудности и в частности отвечать на вопрос, почему выполненные преобразования не приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Данный курс помимо теоретических сведений, необходимых для решения уравнений и неравенств, содержит интересные и красивые задачи, освещает намеченные, но совершенно нерассматриваемые методы, способы в школьном курсе математики. Вполне оправдано повышенное внимание, которое уделяется уравнениям и неравенствам, содержащимся в текстах ЕГЭ.

Основной  целью изучения курса является:

  Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочение умений, необходимых для  успешной сдачи ЕГЭ и продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

  В то же время данный курс направлен на достижение следующих целей:

-  получение общего представления об элементарной алгебре и применяемых в ней методах;

- получение представления об универсальном характере математических методов, о тесной взаимосвязи элементарной алгебры с высшей математикой: арифметикой, алгеброй, математическим анализом; о единстве математики в целом.

- развитие внутренней мотивации  и поисковой активности в предметной деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней.

  При изучении курса перед учащимися ставятся следующие задачи:

- получение знаний об основных логических и содержательных типах алгебраических задач: уравнений, неравенств;

- освоение методов решения уравнений и неравенств;

- получение конкретного представления о взаимосвязях высшей математики с элементарной алгеброй на основе использования методов высшей математики при исследовании и решении алгебраических задач.

Содержание обучения.

Разложение многочлена на множители. Вынесение общего множителя. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата. Метод неопределенных коэффициентов. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам. Метод введения параметра. Метод введения новой неизвестной. Комбинирование различных методов. Симметрические и возвратные уравнения. Симметрические уравнения третьей степени. Симметрические уравнения четвертой степени. Возвратные уравнения. Уравнения четвертой степени с дополни­тельными условиями на коэффициенты. Умножение уравнения на функцию. Угадывание корня уравнения. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Метод интервалов. Обобщенный метод интервалов. Возведение в степень. Умножение уравнения или неравенства на функцию. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов. Переход к числовому основанию. Переход к основанию, содержащему неизвестную. Уравнения и неравенства, содержащие неизвест­ную в основании и показателе степени. Уравнения и неравенства, содержащие неизвест­ную под знаком абсолютной величины. Раскрытие знаков модулей. Иррациональные уравнения. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометричес­кого уравнения. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций. Применение основных свойств функций. Использование ОДЗ. Использование ограниченности функций. Использование монотонности функции. Использование графиков функций. Метод интервалов для непрерывных функций.

Требования к уровню подготовки учащихся

Знать/Уметь: 

- решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

- доказывать неравенства различной степени сложности;

- решать текстовые задачи с помощью  составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

- изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем; - находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

- решать уравнения, неравенства и системы с применением  графических представлений, свойств функций, производной; - использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Литература

1. , , Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства.

2. Математика интенсив

3. Факультативный курс по математике.

4. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы.

5. Сборник задач по математике с анализом решений.

Календарно - тематическое планирование по курсу «Замечательные уравнения и неравенства»,

11 класс ( 34 часа).

№ урока	Тема урока	Тип урока	Элементы содержания	Требования к уровню подготовки учащихся	Вид контроля	дата
1.Алгебраические уравнения и неравенства (13ч)
1-4	Разложение многочлена на множители – 4ч	лекция практикум лекция практикум	Разложение многочлена на множители. Вынесение общего множителя. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата. Метод неопределенных коэффициентов. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.	знать: различные нестандартные методы разложения многочлена на множители; определения симметрических и возвратных уравнений, их методы решения; некоторые нестандартные методы решения алгебраических уравнений обобщённый метод интервалов для неравенств. уметь: раскладывать многочлены нестандартными методами решать симметрические уравнения третьей, четвёртой степени, возвратные уравнения; решать неравенства обобщённым методом интервалов; применять некоторые искусственные методы для решения алгебраических уравнений.	Самостоятельная, практическая работа
5-7	Симметрические и возвратные уравнения – 3ч	лекция практикум практикум	Симметрические и возвратные уравнения. Симметрические уравнения третьей степени. Симметрические уравнения четвертой степени. Возвратные уравнения. Уравнения четвертой степени с дополни­тельными условиями на коэффициенты.	Самостоятельная, практическая работа
8-10	Способы решения алгебраических уравнений 3ч	лекция практикум практикум	Умножение уравнения на функцию. Угадывание корня уравнения. Исследование уравнения на промежутках действительной оси.	Самостоятельная, практическая работа
11-13	Решение алгебраических неравенств 3ч	лекция практикум практикум	Три подхода к рациональным неравенствам Методы решения рациональных алгебраических неравенств	Самостоятельная, практическая работа
2.Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули (9ч)
14-15	Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком радикала 2ч	лекция практикум	Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком радикала: Возведение в степень Уравнения вида Уравнения вида Умножение уравнения или неравенства на функцию.	знать: основные приёмы решения уравнений и неравенств, содержащих радикалы, степени, логарифмы и модули; при решении неравенства надо следить за равносильностью преобразований; при решении уравнения надо либо следить за равносильностью преобразований на ОДЗ исходного уравнения, либо в конце решения надо делать проверку. уметь: объяснять равносильность преобразований; правильно применять наиболее употребляемые формулы; пользоваться изученными приёмами решений уравнений и неравенств.	Самостоятельная, практическая работа
16-17	Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифма 2ч	лекция практикум	Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов. Переход к числовому основанию. Переход к основанию, содержащему неизвестную.	Самостоятельная, практическая работа
18-19	Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени 2ч	лекция практикум	Уравнения и неравенства, содержащие неизвест­ную в основании и показателе степени	Самостоятельная, практическая работа
20-22	Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины 3ч	лекция практикум практикум	Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах	Самостоятельная, практическая работа
Способы замены неизвестных при решении уравнений (7ч)
23-25	Алгебраические уравнения – 3ч	лекция практикум практикум	Метод введения параметра. Метод введения новой неизвестной. Комбинирование различных методов.	знать: метод замены неизвестных различными способами при решении уравнений; метод сведения некоторых уравнений к системе уравнений относительно новых неизвестных. уметь: при помощи замены неизвестных рациональное уравнение сводить к алгебраическому или более простому рациональному уравнению; в некоторых случаях решение уравнения сводить к решению системы уравнений относительно вводимых новых неизвестных.	Самостоятельная, практическая работа
26-27	Рациональные уравнения – 2ч	лекция практикум	Самостоятельная, практическая работа
28-29	Иррациональные уравнения – 2ч	лекция практикум	Иррациональные уравнения. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометричес­кого уравнения.	Самостоятельная, практическая работа
Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций (5ч)
30-32	Применение основных свойств функций – 3ч	лекция практикум практикум	Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций. Применение основных свойств функций. Использование ОДЗ. Использование ограниченности функций. Использование монотонности функции. Использование графиков функций. Метод интервалов для непрерывных функций.	знать: основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств; о применении производной при решении уравнений и неравенств. уметь: объяснять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство; применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или неравенство.	Самостоятельная, практическая работа
33-34	Применение производной - 2ч	лекция практикум	Самостоятельная, практическая работа