Обобщенные функции Учебная программа для специальностей : 1-31 03 01-02 Математика (научно-педагогическая деятельность) (код специальности) (наименование специальности) 1-31 03 01-02 08 Теория функций (код специализации) (наименование специализации)

Ф 27-015

Учреждение образования

“Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Учебная программа для специальностей :

1-31 03 01-02  Математика (научно-педагогическая деятельность)

  (код специальности)  (наименование специальности)

1-31 03 01-02 08  Теория функций

  (код специализации)  (наименование специализации)

2011

АВТОР:  – заведующий кафедрой ТФФА и ПМ, кандидат физико-математических  наук,  доцент. 

РЕЦЕНЗЕНТЫ

– заведующий кафедрой ПОИКС ГрГУ им. Я. Купалы, канд. технических наук, доцент.

– заведующая кафедрой ГЯД  Гродненского филиала

«БИП - Институт правоведения»,  кандидат физ.-мат. наук, доцент.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.1. Характеристика учебной дисциплины

Спецкурс  «Обобщенные функции»  предназначен  для  студентов  специальности

1-31 03 01-02 Математика, и является одним их основных курсов специализации «Теория функций». __________________________________________________________

1.2. Цели и задачи учебной дисциплины 

Данный курс ставит своей целью обучение студентов основным понятиям теории  обобщенных функций и важнейшим операциям над обобщенными функциями _____________________________________________________________________________

1.3. Место учебной дисциплины в системе подготовки специалиста

Спецкурс является одним из основных курсов специализаций «Теория функций». ____________________________________________________________________________

1.4. Связи с другими дисциплинами учебного плана

Спецкурс «Теория функций»  тесно связан с основными математическими курсами  «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ и интегральные уравнения» и  дисциплинами специализаций.

1.5. Требования к компетентности (согласно образовательного стандарта специальности)

В результате изучения учебной дисциплины студент должен:

– знать:  определения основных понятий теории обобщенных функций, алгебраические операции с обобщенными функциями, а также операции дифференцирования и интегрирования; _____________________________________________________________________ 

– уметь:  ­  находить обобщенные производные и неопределенные интегралы от обобщенных функций;___________________ ___________________________________________________

___________________________________________________________________________________

– владеть навыками: __ обобщенного дифференцирования последовательностей и рядов обобщенных функций;. ____ _________________________________________________________

1.6. Формы и методы обучения и воспитания

Лекционные и практические занятия, выполнение лабораторных и контрольных работ, контролируемая самостоятельная работа. ______________________________________

1.7. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов

Выполнение домашних заданий.  .

В соответствие с учебным планом на изучение учебной дисциплины отводится ____136____ часов, из них аудиторных – ___70___ часов.

  (общее кол-во)

Примерное распределение аудиторного времени следующее:

лекции – ___36___ часов; практические занятия – __18__ часов; семинарские занятия –  __16__ часов;

2. ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п\п	Название раздела	Количество часов
Всего	Лекции	Практические	Семинары
Обобщенные функции и действия над ними	16	8	4	4
Дифференцирование и интегрирование обобщенных функций	22	12	6	4
Носители обобщенных функций	14	6	4	4
Последовательности и ряды обобщенных функций	18	10	4	4

3.  СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1.  Обобщенные функции и действия над ними.

1. Определение обобщенной функции. Порядок сингулярности о. ф.

2. Регулярные о. ф. Лемма дю Буа-Реймонда.

3. -функция. Доказательство ее сингулярности.

  Смещенная-функция.

4. Обобщенная функция  P

5. Примеры обобщенных функций любого конечного и бесконечного

  порядков сингулярности.

6. Алгебраические операции над о. ф..

7. Замена переменной в о. ф.

Раздел 2.  Дифференцирование и интегрирование обобщенных функций.

8. Определение производной о. ф. Примеры.

9. Производная второго порядка о. ф. Пример.

10. Производная n-го о. ф. Формула Лейбница.

11. Определение первообразной и неопределенного интеграла от о. ф.

12. Теорема о неопределенном интеграле.

13. Теорема о существовании первообразной у любой о. ф.

14. Примеры неопределенных интегралов от о. ф.

15. Свойства неопределенных интегралов от о. ф.

Раздел 3.  Носители обобщенных функций.

16. Теорема о существовании наибольшего открытого множества,

  на котором о. ф. обращается в нуль.

17. Определение носителя о. ф. Примеры. Свойства носителя.

18. Теорема о носителе производной о. ф.

19. Теорема о носителе первообразной о. ф.

20. Финитные обобщенные функции. Примеры.

21. Теорема о распространении финитной о. ф.

22. Лемма о плотности финитных функций в пространстве .

  Теорема о единственности распространения финитных обобщенных функций.

23. Теорема об о. ф. с одноточечным носителем.

Раздел 4.  Последовательности и ряды обобщенных функций.

24. Сходящиеся последовательности о. ф. и их свойства.

25. Ряды о. ф. и их сходимость. Свойства сходящихся рядов.

26. Теорема о секвенциальной полноте пространства

  обобщенных функций.

27. Теорема о дифференцировании последовательности о. ф. Следствия.

28. Примеры сходящихся последовательностей и рядов о. ф.

  -образные последовательности.

4. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

4.1. Перечень рекомендуемой литературы

Основная литература:

1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.  Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 256 с.

2. еория обобщенных  функций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. 312 с.

3. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 318 с.

4. Уравнения математической физики. М.: Наука,  1976. 528 с.

5. , Обобщенные функции. М.: Физматгиз.  1958. Т.1. 439 с., Т.2. 307 с., Т.3. 273 с.

6. Математический  анализ: Второй специальный курс. – М.: МГУ, 1984.  – 208 с.

7. Обобщенные функции и преобразование Фурье. –  Гродно: ГрГУ, 1983. – 37 с.

8. Методические указания по разделу "Основы  теории обобщенных функций"  курса "Функциональный анализ и интегральные уравнения" для студентов специальности 01.01.  Гродно: ГрГУ, 1988. - 48 с.

9. Пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций:  Учебное пособие. –  Гродно: ГрГУ, 1999. – 60 с.

10. Дифференцирование и интегрирование обобщенных  функций:  Учебное пособие. –  Гродно: ГрГУ, 2000. – 64 с.

11. Эволюционные операторы с обобщенными импульсными и спектральными характеристиками. –  Гродно: ГрГУ, 2007. – 224 с.

Дополнительная литература:

1. , Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука,  1979. – 384 с.

2. ункциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

3. лементарная теория обобщенных  функций. М.: ИЛ, 1963. 

4. ункциональный анализ. – М.: Мир, 1975. – 448 с. 

5. опологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.

6. ункциональный анализ: Теория  и приложения. – М.: Мир, 1969. – 1071 с.

4.2. Критерии оценок результатов учебной деятельности

Ответ оценивается в «10» баллов, если:

Полностью раскрыто содержание  теоретических вопросов. Доказательства приведены с требуемым обоснованием. При ответе студент демонстрирует свободное оперирование программным учебным материалом различной степени сложности с использованием  сведений из других учебных курсов и дисциплин. При ответе на дополнительные вопросы чувствуется умение развивать систему теоретических знаний на основе самостоятельной работы.

2. Ответ оценивается в «9» баллов, если:

При ответе на теоретическую часть билета  и дополнительные вопросы студент показывает свободное владение программным учебным материалом различной степени сложности,  отличное знание математических  фактов и зависимостей. Допускается один недочёт, который легко устраняется самим отвечающим

3. Ответ оценивается в «8» баллов, если:

При обосновании доказательств теорем либо при изложении иного требуемого теоретического материала имеются один-два недочёта, которые студент сам исправляет по замечанию экзаменатора. При ответе на дополнительные вопросы выявляется владение программным учебным материалом и оперирование им в знакомой и незнакомой ситуациях.

4. Ответ оценивается в «7» баллов, если:

При доказательстве теорем и изложении иного материала студент показывает владение программным учебным материалом, в том числе и различной степени сложности, а также  оперирование им в знакомой ситуации. При ответе допускается два-три недочёта либо не более одной ошибки.  Экзаменующийся уверенно отвечает на дополнительные вопросы, касающиеся определений, свойств, теорем всего изучаемого курса согласно экзаменационной программе.

5. Ответ оценивается в «6» баллов, если:

Доказательство теоремы в одном вопросе из двух приведено с ошибками либо вообще фрагментарно. Однако, при ответе на дополнительные вопросы, касающиеся основных теорем, свойств, формул демонстрируется полное воспроизведение требуемого программного материала с несущественными ошибками.

6. Ответ оценивается в «5» баллов, если:

При ответе  теории выявляется не всегда осознанное воспроизведение программного учебного материала. Доказательства либо отсутствуют, либо приводятся очень фрагментарно. При ответе на дополнительные вопросы, касающиеся важнейших и основных программных понятий и фактов, имеются затруднения в использовании  математической терминологии, чертежей.

.

7. Ответ оценивается в «4» балла, если:

Изложение теоретического материала приводится с существенными ошибками, неточно или схематично или на конкретных примерах. Студент может применять свои знания только в типичной знакомой ситуации. Появляются затруднения и при ответе на дополнительные вопросы в применении отдельных специальных умений и навыков, но демонстрируется знание основных формул и определений.

.

8. Ответ оценивается в «3» , в «2» и «1» балл, если:

При отсутствии ответа на один вопрос из двух, либо если была попытка ответить на вопросы экзаменационного билета, но при этом выявлено, что студентом усвоены лишь отдельные факты программного материала.

9. Ответ оценивается в «1»

При отсутствии ответа либо отказ от ответа

4.3. Перечень рекомендуемых средств диагностики результатов учебной деятельности

Тестирование  Зачёт