Математическая игра «Домино». Первый тур. 27 марта 2017 г.
Условия.
0–0. Произведение четырёх последовательных нечётных натуральных чисел оканчивается на цифру 9. Какие две цифры могли стоять перед этой девяткой?
0–1. Укажите ближайший в будущем год, у которого такие же сумма и произведение цифр, как и у числа 2017.
0–2. Найдите катет прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой 2.
0–3. Найдите n, когда натуральные числа n и n+1 имеют ровно по два натуральных делителя.
0–4. Найдите сумму корней уравнения 2x2+5x+1=0.
0–5. Если некий человек идёт пешком на работу, а обратно едет на метро, то всего на дорогу он затрачивает полтора часа. Если же в оба конца он едет на метро, то весь путь занимает у него 30 мин. Сколько времени затратит этот человек на дорогу, если и на работу, и обратно пойдёт пешком?
0–6. Сколько существует восьмизначных чисел, в записи которых цифры идут в порядке убывания слева направо?
1–1. Один катет прямоугольного треугольника увеличили в 2 раза, а другой катет в x раз, при этом площадь треугольника увеличилась в 3 раза. Найдите x.
1–2. Укажите наименьшее простое число.
1–3. Решите уравнение 
.
1–4. Разрежьте нарисованный шестиугольник по линиям сетки на 4 одинаковые фигуры.
1–5. Решите уравнение |x|= –x.
1–6. Найдите все натуральные числа m и n такие, что n2+2=m!.
2–2. Сколькими способами можно на шахматную доску поставить две одинаковые ладьи?
2–3. Найдите сторону правильного треугольника, если треугольник превратится в прямоугольный при увеличении одной стороны на 1, а другой – на 2.
2–4. Имеется набор из 12 гирек с массами 1 г, 2 г, 3 г, …, 12 г. Разложите их на несколько кучек так, чтобы в каждой кучке масса одной из гирек равнялась сумме масс остальных.
2–5. Бумажный прямоугольный треугольник АВС перегнули по прямой так, что вершина С прямого угла совместилась с вершиной В и получился четырехугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырехугольника делит эти диагонали?
2–6. Натуральное число из различных цифр назовём красивым, если в нём произведение любых двух подряд идущих цифр делится на 3. Найдите наибольшее красивое число.
3–3. В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть 3 самых маленьких гриба, то белых станет половина. Сколько грибов в корзине?
3–4. Найдите все такие натуральные числа k, что у чисел k, 21k и 6k+5 есть одинаковые наименьшие натуральные делители, отличные от 1.
3–5. Дед Мороз дал каждому ребенку по 10 конфет, 3 мандарина и 2 шоколадки. А Снегурочка – по 4 мандарина, 4 шоколадки и 12 конфет. Они раздали 400 конфет и шоколадок вместе взятых. А сколько мандаринов?
3–6. Высота АН остроугольного треугольника АВС равна его медиане ВМ. На продолжении стороны АВ за точку В отложена точка D так, что BD = AB. Найдите угол BCD.
4–4. На поле 12?12 неизвестным образом размещён корабль-авианосец в виде L-тетрамино (4 клетки). Какое наименьшее количество выстрелов одновременно можно сделать так, чтобы гарантированно попасть в корабль?
4–5. Акциями компании владеют 100 акционеров. Оказалось, что любые 66 из них владеют не менее чем половиной из акций компании. Каким наибольшим процентом акций может владеть один акционер?
4–6. Решите уравнение: 
= 
.
5–5. Банк при снятии денег со счёта берёт комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счёта 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счёта 8000 рублей?
5–6. На сторонах AB и AD ромба ABCD с тупым углом A нашлись точки P и Q такие, что треугольник PCQ — равносторонний со стороной, равной стороне ромба. Найдите углы ромба.
6–6. Какое наименьшее количество клеток можно отметить на шахматной доске таким образом, чтобы в любом квадрате 5?5 на обеих главных диагоналях были отмеченные клетки? Приведите ответ и пример.
