Метод аналогии.
Часто изучая новые разделы физики, будь то термодинамика или электростатика, оптика или ядерная физика, помогаем себе, наводя переправу к уже изученному, подыскивая физические аналогии. Это преимущественно аналогии механические и касаются они механических или немеханических процессов. Но бывает и наоборот, когда удается найти немеханическую аналогию механическим процессам.
Методом аналогии решаются задачи, выводятся соотношения. Он способствует глубокому пониманию, объединяет материал из разных разделов физики.
Решите следующие задачи
Задача 1. Человек идет из поселка A в поселок B. При этом первую часть пути он движется по лесу со скоростью u, а вторую ? по болоту, со скоростью v. Как должен двигаться человек, чтобы добраться из A в B за минимальное время? Граница раздела лес ? болото ? прямая.
Задача 2. Доказать, что ускорение свободного падения на расстоянии r от центра Земли (r < Ro), где Ro ? радиус Земли, равно (go ? ускорение свободного падения на поверхности Земли).
Задача 3. Дана большая плоская пластина толщины H и плотности ?. В пластины вставлена трубка. В трубке только в гравитационном поле пластины начинает падать шарик с высоты L (L >> H). Определить минимальное время через которое шарик вернется в начальную точку бросания (рис.).
Задача 4. Три пружины равной жесткости k соединены при помощи жестких связей, так как показано на рисунке. Найти эквивалентную жесткость системы.
Задача 5. Найти период колебаний шарика (рис.), который упруго отражается от стены, отстоящей от положения равновесия на A/2 (A ? амплитуда).
Задача 6. Тонкий однородный брусок длиной l скользит сначала по гладкому горизонтальному столу, а затем попадает на шероховатый участок с коэффициентом трения ?. Брусок останавливается, въехав туда наполовину. Найдите начальную скорость бруска и время торможения.
Задача 7. Если кран холодной воды открыт полностью, а горячей ? закрыт (рис.), то ванна наполняется за время t1 = 8 мин, если при этом на выходное отверстие насадить шланг с душем на конце, то время наполнения увеличится до t2 = 14 мин. Когда кран холодной воды закрыт, а горячей ? полностью открыт, то время наполнения ванны t3 = 12 мин; при таких же условиях, но с душем ? t4 = 18 мин. За какое время наполнится ванна, если полностью открыты оба крана? А если при этом насажен шланг с душем?
50(Задача 8). Тонкую цепочку длиной 45 см удерживают за верхний конец на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 30о с горизонтом. Через какое время после освобождения цепочки она полностью покинет наклонную плоскость, если вначале ее нижний конец находился у края наклонной плоскости?
Решение.
Хотя в этом случае колебания как таковые не возникают, время движения удается определить благодаря тому, что уравнение движения тела такое же, как для гармонических колебаний. Действительно, проекцию на направление движения дает только сила тяжести, действующая на отрезок цепочки длиной x, находящийся в данный момент на наклонной плоскости. Масса этого отрезка
Получаем
или
Движение верхнего конца цепочки происходит так же, как движение маятника от точки максимального отклонения к положению равновесия, по закону
Движение до точки x = 0 займет время
После вычислений
51(Задача 9). Шайба, скользившая по гладкому горизонтальному льду, попадает на участок, неравномерно посыпанный мелким песком. Коэффициент трения шайбы по мере ее удаления на расстояние x от границы участка возрастает по закону ? = kx. Через какое время шайба остановится после ее попадания на указанный участок? Размеры шайбы значительно меньше пройденного ею пути.
Решение.
По условию задачи шайба движется прямолинейно в горизонтальной плоскости. Будем, как обычно, считать, что система отсчета, неподвижная относительно льда, является инерциальной, а ее ось Ox совпадает с направлением движения шайбы. Будем также считать, что влиянием воздуха на шайбу можно пренебречь, а действующая на шайбу сила сухого трения скольжения не зависит от скорости шайбы и равна максимальному значению силы сухого трения покоя. Тогда на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что уравнение движения шайбы в проекции на ось Ox должно иметь вид:
где m ? масса шайбы, а g ? величина ускорения свободного падения.
Из полученного уравнения следует, что ускорение шайбы прямо пропорционально смещению шайбы от границы участка и направлено к этой границе, т. е. изменяется так же, как ускорение груза пружинного маятника. Следовательно, закон движения шайбы, начиная с момента времени t = 0, когда шайба попадает на посыпанный песком участок, до момента времени t = ?, когда шайба останавливается, должен иметь вид
Поскольку скорость шайбы в указанном промежутке времени изменяется по закону
то момент остановки шайбы должен удовлетворять соотношению: ?? = ?/2.
Таким образом, искомый промежуток времени равен
