ЗАДАНИЯ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ-2015
Вариант 1
Решить уравнение
в котором два неизвестных. Решите уравнение 
Найти значение выражения 
если известно, что 
и 
– значения функции 
в точках минимума и максимума соответственно.
Найти количество всех целых решений неравенства
Вариант 2
Вычислить:
Найти значение выражения 
если 
– число корней уравнения 
а 
– его положительный корень.
в которой касательная параллельна прямой 
до точки 
Вариант 3
Решить неравенство
Найти значение функции 
в точке максимума.
Найти сумму всех целочисленных решений неравенства
проходят две касательные к графику функции 
Найти сумму абсцисс точек касания.
РЕШЕНИЯ
Вариант 1
Решить уравнение
в котором два неизвестных. Решение.
Представим левую часть в виде суммы квадратов:
Сумма неотрицательных чисел 
и 
может принимать нулевое значение только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому 
и 
. Отсюда 
и 
Ответ. 
Решение.
Ответ. 
если известно, что 
и 
– значения функции 
в точках минимума и максимума соответственно.
Решение.
при 
– критические точки.
Учитывая характер смены знака 
при прохождении через точки 
и 
замечаем, что
Таким образом,
Ответ. 4.
Найти количество всех целых решений неравенства
Решение.
Данное неравенство равносильно системе:
Целым является решение одно 
Ответ. 1.
Вариант 2
Вычислить:
Решение.
Ответ. 
Решение.
тогда 
значит, 
не являются корнями исходного уравнения; 
тогда 
значит, 
являются корнями исходного уравнения. Ответ. 
если 
– число корней уравнения 
а 
– его положительный корень.
Решение.
Область допустимых значений для левой части исходного уравнения задается системой
которая равносильна системе
Решая данное уравнение, получаем:
Так как 
то данное уравнение имеет единственный корень 
а искомое значение равно
Ответ. 3.
Найти расстояние от точки графика функции
в которой касательная параллельна прямой 
до точки 
Решение.
Так как 
а угловой коэффициент прямой равен 
, то используя условие параллельности прямых 
делаем вывод о том, что абсцисса точки касания 
должна удовлетворять уравнению 
т. е. 
Тогда ордината 
точки касания равна 
По формуле
найдем искомое расстояние:
Ответ. 5.
Вариант 3
Решить неравенство
Решение.
Отмечаем на числовой прямой точки
При 
выражение отрицательно, положительны все сомножители, кроме одного: 
При переходе через точки 
знак выражения меняется (линейные сомножители в нечетной степени), а при переходе через точку 
знак не меняется (кратность корня 
равна 2 – четному числу).
Включаем в ответ все промежутки, на которых левая часть неравенства отрицательна.
Ответ. 
в точке максимума.
Решение.
Найдем область определения функции
Упростим формулу, задающую функцию:
при 
(
не принадлежит области определения функции 
).
– точка максимума, 
Ответ. 
Решение.
Данное неравенство равносильно системе:
Целочисленными являются решения 
Следовательно, их сумма 
Ответ. 13.
Через точку
проходят две касательные к графику функции 
Найти сумму абсцисс точек касания.
Решение.
Поэтому уравнение касательной к графику данной функции 
в точке с абсциссой 
имеет вид
Так как касательная проходит через точку 
то получаем уравнение
которое приводится к квадратному
Теорема Виета позволяет получить искомое значение, не находя корней этого уравнения:
Ответ. 
Общие принципы
формирования комплектов заданий математических олимпиад1
Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы с первым заданием могли успешно справиться примерно 70% участников, со вторым – более 50%, с третьим – около 20%, а с последними – лучшие из участников олимпиады. Тематическое разнообразие заданий: в комплект должны входить задачи из разных разделов математики. При этом допустимо и даже рекомендуется включение в варианты задач, объединяющих различные разделы математики.
Критерии оценивания
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.
В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
7 | Полное верное решение. |
6 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
5 | Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений. |
4 | Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка. |
2-3 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
0-1 | Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении). |
0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
0 | Решение отсутствует. |
Любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Баллы не снимаются за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение участника олимпиады отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри. Исправления в работе (зачеркивания ранее написанного текста) не являются основанием для снятия баллов.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
Победители и призеры олимпиады определяются жюри в соответствии с итоговой таблицей. Список победителей и призеров утверждается организатором олимпиады. Количество победителей и призеров олимпиады не должно превышать 45% от общего числа участников олимпиады. Важно отметить, что победителями олимпиады являются ВСЕ участники, набравшие наибольшие баллы. Поэтому жюри может определить более чем одного победителя.
1 , Методические рекомендации по разработке заданий для школьного и муниципального этапов всероссийской олимпиады школьников по математике. М., 2011.
