Студенческая олимпиада по математике. Первый курс

ОмГУ им.                22.11.09


Наибольший общий делитель двух квадратных трёхчленов и есть , а их наименьшее общее кратное есть . Найдите число .
Для положительных m и n введем обозначение . Найдите значение выражения .
Докажите, что для любых комплексных  z  и  w  выполнено неравенство .
Натуральное число называется хорошим, если в его разложении на простые множители нет никаких чисел кроме 2, 3 и  5. Существует ли такое натуральное число n, что среди всех хороших чисел, не превосходящих n, содержится менее 10 процентов точных квадратов? (Единица считается хорошим числом)
Пусть и - произвольное действительное число. Последовательность  задана рекуррентным соотношением . Докажите, что сходится, и найдите предел последовательности.
Сколько различных последовательностей, состоящих из восьми подмножеств А1, А2, …, А8 множества {1;2} можно составить так, чтобы выполнялось следующее условие: если число m делится на число n, то множество An содержит множество Am? Подмножества могут повторяться и среди них могут быть пустые.
На плоскости дан отрезок ВС. Найдите геометрическое место точек А плоскости,  обладающих следующим свойством: среди всех точек Х, симметричных точке А относительно какой-нибудь точки отрезка ВС, существует ровно одна точка, для которой четырёхугольник АВXС –  вписанный.
Имеется рациональное число ? и конечный набор векторов с рациональными координатами, среди которых есть ненулевой. Известно, что при умножении любого из векторов набора на число ? получается вектор, равный сумме некоторых векторов этого же набора (не обязательно различных). Докажите, что число ? – целое.
Какой может быть степень немонотонного вещественного многочлена p(x) на , обладающего следующим свойством: для каждого значения уравнение имеет нечетное число корней?
Докажите, что существует натуральное , такое, что первые четыре цифры дробной части числа образуют число 2009.

Студенческая олимпиада по математике. Старшие курсы

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

ОмГУ им.                22.11.09


Докажите, что для всех событий А и В выполняется неравенство . Петя и Вася по очереди записывают действительные числа в клетки квадрата 100?100. Первым ход делает Петя. Игра заканчивается, когда все клетки квадрата оказываются заполненными. Петя выигрывает, если определитель полученной матрицы отличен от нуля. В противном случае выигрывает Вася. Кто выиграет при правильной игре? Решите уравнение . Натуральное число называется хорошим, если в его разложении на простые множители нет никаких чисел кроме 2, 3 и  5. Существует ли такое натуральное число n, что среди всех хороших чисел, не превосходящих n, содержится менее 10 процентов точных квадратов? (Единица считается хорошим числом) Сколько различных последовательностей, состоящих из восьми подмножеств А1, А2, …, А8 множества {1;2} можно составить так, чтобы выполнялось следующее условие: если число m делится на число n, то множество An содержит множество Am? Подмножества могут повторяться и среди них могут быть пустые. На плоскости дан отрезок ВС. Найдите геометрическое место точек А плоскости, обладающих следующим свойством: среди всех точек Х, симметричных точке А относительно какой-нибудь точки отрезка ВС, существует ровно одна точка, для которой четырёхугольник АВXС –  вписанный. Имеется рациональное число ? и конечный набор векторов с рациональными координатами, среди которых есть ненулевой. Известно, что при умножении любого из векторов набора на число ? получается вектор, равный сумме некоторых векторов этого же набора (не обязательно различных). Докажите, что число ? – целое. Какой может быть степень немонотонного вещественного многочлена p(x) на , обладающего следующим свойством: для каждого значения уравнение имеет нечетное число корней? Докажите, что существует натуральное , такое, что первые четыре цифры дробной части числа образуют число 2009. Найдите с точностью до 0,01. Ответ дайте в виде десятичной дроби.  Пусть A, B, C, D – квадратные матрицы с вещественными коэффициентами, причем  DC=CD. Докажите, что . Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных величин, , и пусть . Найдите  . Суммой множеств  U  и  V  называется множество всех сумм  u+v, где , . Для каких эллипсов  U  и  V  сумма  U+V  также будет эллипсом? (Под эллипсом понимается фигура, которая в некоторой декартовой системе координат задается неравенством , где .)