Принцип Дирихле Занятие математического кружка

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Принцип Дирихле

Занятие математического кружка

8 класс

Выполнили:

Курганинский район: , Северский район: ,

г. Горячий Ключ,

сентябрь 2017г.

Занятие математического кружка

Тема: Принцип Дирихле

Цели:

Образовательная цель: познакомить учащихся с обобщённым принципом Дирихле и типами задач, решаемых этим методом. Развивающая цель: через решение задач с помощью метода Дирихле развивать умение анализировать, синтезировать, обобщать.

Воспитательная цель: посредством организации занятия воспитывать усидчивость, настойчивость в достижении цели, интерес к математике.

Формируемые УУД:

Коммуникативные: развивать умение точно и грамотно выражать свои мысли, отстаивать свою точку зрения в процессе дискуссии.

Регулятивные: сформировать понимание отличия интуитивных соображений от доказательства; развивать умение различать в задаче условие и заключение.

Познавательные: сопоставлять характеристики объектов по одному или нескольким признакам; выявлять сходства и различия объектов, при расплывчатых формулировках получать некоторую достоверную информацию, познакомиться с методом доказательства от противного, методом оценки и научиться пользоваться некоторыми свойствами неравенств.

Личностные: Формирование устойчивой мотивации к анализу; устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового; навыков самоанализа и самоконтроля.

Межпредметные понятия:  Принцип, не более, не менее.

ИКТ-компетенции:  владение информационно-коммуникационными технологиями, методами поиска, сбора и обработки, передачи информации, создание презентаций, умение безопасного использования средств информационно-коммуникационных технологий Интернет.

Оборудование:  мультимедийный комплекс, карточки с заданиями, презентация «Принцип Дирихле. Решение задач», чертёжные инструменты

Ход занятия:

Организационный момент Логическая разминка.

Дидактическая игра «Крестики - нолики». Взаимопроверка.

Вопросы для игры.

1. Верно ли, что любое составное число делится на 3? (нет)

2. Высказывание: любое число, оканчивающееся цифрой 7, делится на 7,

  истинно (нет)

3. Верно ли утверждение, что локоть больше фута? (да)

4. Верно ли утверждение: абак – первый счётный прибор? (да)

5. Высказыванием: Каждый делитель числа 10 является делителем числа 12 –

  является высказыванием о существовании. (нет)

6. Высказывание: Можно найти число, при делении которого на 6 получится

  9 – истинно. (да)

7. Верно ли, что первым измерил высоту пирамиды по его тени Евклид? (нет, это Фалес)

8. Высказывание: Каждое натуральное число больше предыдущего на

  единицу – истинно. (да)

9. Высказывание: Существует натуральное число, имеющее меньше двух

  делителей – ложно. (нет)

Актуализация знаний

Рассмотрим задачу. Доказать, что из числа любых 13 учащихся найдутся по меньшей мере 2 ученика, чьи месяцы рождения совпадут

- Как, по вашему мнению, мы можем ответить на вопрос задачи?

- Логический прием, который был использован при решении этой задачи, называется принципом Дирихле. Дирихле (1805-1859) – немецкий математик, иностранный член Петербургской  Академии наук, член многих академий. Дирихле – автор многих достижений в области математики, одна из его заслуг – принцип доказательства, названный его именем.

- Давайте его вспомним. Представьте, что вы пришли на занятие математического кружка в 6 класс. Как бы вы объяснили ученикам, в чём состоит этот принцип?

- Принцип Дирихле состоит в следующем: «Если в клеток посадить зайцев где , то найдётся хотя бы одна клетка, в которой находится не менее чем два зайца».

Обсуждение решения предложенной задачи.

УЧИТЕЛЬ - Как вы понимаете выражение «по меньшей мере»?

УЧЕНИК - Больше или равно

УЧИТЕЛЬ - Как вы считаете, что нужно принять за «клетку», а что за «зайцев»?

УЧЕНИК -  Количество месяцев – клетки, количество учеников – зайцы.

УЧИТЕЛЬ - Действительно, так как количество месяцев в году 12, то из  13  учеников найдется по крайней мере 2 ученика с одинаковыми  месяцами рождения.

Среди задач такого типа встречаются более сложные и поэтому мы рассмотрим обобщённый принцип Дирихле:

«Если в клеток посадить зайцев, то найдётся хотя бы одна клетка, в которой находится не менее чем зайцев».

Докажем обобщённый принцип Дирихле.

Доказательство от противного. Предположим, что не найдётся такой клетки. Значит, в каждой клетке находится не более чем зайцев. Тогда в n клетках не более чем зайцев. Но, по условию, у нас было зайцев. Получилось противоречие, значит наше предположение неверно. Следовательно, найдётся хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем заяц.

Утверждение принципа Дирихле можно разделить на условие и заключение. Покажем это с помощью таблицы - помощницы:

Условие	Заключение
клеток	зайцев	Не менее чем заяц
…	…	…

Эту таблицу мы можем использовать при решении задач.

Решение задач

ЗАДАЧА

В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале 400 мест. Докажите, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этом зале.

Решение: Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более школьников. Но, по условию, в школах обучается 6015 человек. Значит, найдётся школа, в которой больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зале на 400 мест.

Таблица наглядно показывает использование принципа Дирихле:

Условие	Заключение
	учащихся	Не менее чем учеников
15 школ	учащихся	Не менее чем учеников

Следовательно, найдётся школа, в которой больше 400 учеников, которые не поместятся в этом зале.

Задачи на принцип Дирихле условно можно разделить на три типа: 1тип  -  «Сколько нужно взять?..», 2тип -  «Докажите, что найдутся двое...», 3 тип -  Обобщенный принцип Дирихле в соответствии с вопросом к задаче.

Каждый тип задач можно решить с использованием таблицы – помощницы. Предлагаем вам работу в мини группах.

Работа в мини группах. При решении задач предложить обучающимся использовать таблицу-помощник

Условие	Заключение
клеток	зайцев	Не менее чем заяц
…	…	…

I группа.  1тип  «Сколько нужно взять?..»

1.В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались два шарика одного цвета?

Решение:

Здесь роль «зайцев» играют шарики (), роль «клеток» - цвета ().Чтобы  , т. е. в одном  ящике  оказалось два предмета, их должно быть больше двух, т. е.

2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?

Решение: Если предположить, что сначала будут попадаться только красные карандаши, то для того, чтобы было не менее 3 синих и не менее 2 красных, нужно взять 7(красные)+3(n)=10.

II группа  2тип.«Докажите, что найдутся двое...»

3.При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?

Решение: Дней в году или 366,то принципу Дирихле или .

4.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся хотя бы две елки с одинаковым числом иголок.

Решение: Если предположить, что у всех елок разное количество иголок, то таких елок 600 000 (это ящики, n= 600 000), а по условию елок 1000 000=m, то m>n, по принципу Дирихле найдутся хотя бы две елки «в одном ящике», т. е. с одинаковым количеством иголок.

Условие	Заключение
клеток	зайцев	Не менее чем заяц
иголок	1000 000 ёлок	Не менее чем 1+1= 2 ёлки с одинаковым числом иголок

III группа 3 тип. Обобщенный принцип Дирихле: если по n ящикам разложить предметы, число которых m больше, чем nk (где k – натуральное число), то найдется ящик, в котором находятся более к предметов.

5.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?

Решение. (ост.1). 1. , , mn, то принципу Дирихле найдутся хотя бы один ящик, в котором находятся более, чем предметов, т. е. 4 предмета.

6.На площадке 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.

Решение: 20:8=2(ост. 4), 20=82+4. к=2,n=8, m>n, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы три собаки одной породы.

Условие	Заключение
клеток	зайцев	Не менее чем заяц
пород	20 собак	Не менее чем 2+1= 3 собаки одной породы

Самостоятельная работа обучающихся с последующей взаимопроверкой В классе учится 27 школьников, знающих (всего) 109 стихотворений. Докажите, что найдётся школьник, знающий не менее 5 стихотворений.

Условие	Заключение
клеток	зайцев	Не менее чем заяц
27учеников	стихотворений	Не менее чем стихотворений, ч. т.д.

В городе Краснодаре на 1 января 2017 г. живет более 881тыс. человек. Докажите, что у каких-то 89 человек из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове  не более 10 0000 тыс. волос.

Условие	Заключение
клеток	зайцев	Не менее чем заяц
волос	m=881000 =88•100000+1000 человек	Не менее чем человек с одинаковым числом волос  на голове. Ч. т.д.

VII. Итог занятия.

Таким образом, применяя данный метод, необходимо:

1) Определить, что удобно в задаче принять за «зайцев», а что за «клетки».

2) Получить «зайцев».Чаще всего, их должно быть больше, чем «клеток»..

3) Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

VIII. Домашнее задание.

1.В городе Санкт-Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове  не более миллиона волос.

В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?

Для любознательных:

Темы проектов : «Принцип Дирихле при решении задач», «Принцип Дирихле в повседневной жизни».

IX. Рефлексия.

- Что нового узнали сегодня?

- Что больше всего понравилось?

- Что вызвало затруднение?

- Что еще хотелось бы узнать по теме?

  Ожидаемые результаты:

- учащиеся имеют представление о принципе Дирихле;

- умеют решать простейшие задачи на применение принципа Дирихле;

- учащиеся знают типы высказываний;

- умеют формулировать отрицание высказываний

Приложение 1

Домашнее задание.

1.В городе Санкт-Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове  не более миллиона волос.

  Решение: Если предположить, что у всех людей разное количество волос, то таких людей n=1000 000 (клетки),  а по условию людей m=4 000 000(зайцы). m>n, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два человека с одинаковым количеством волос.

2.В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?

Решение: В году 12 месяцев. 27:12=2(ост.3), 27=12*2+3. к=2,n=12,m>n, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы три ученика, у которых дни рождения в одном месяце.

Приложение 2

Дидактический материал по теме Принцип Дирихле

Задача 1.  Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6?6 из чисел +1, -1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Помогите Буратино.

Решение: Допустим, что квадрат составлен. Тогда суммы чисел могут меняться от - 6 до 6. Всего 13 значений (зайцы). Строк в квадрате 6, столбцов 6, диагоналей 2. Получаем: 6 + 6 + 2 = 14 различных мест (клетки). Получили противоречие, значит, составить такой квадрат невозможно.

Задача 2. На зачет пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на контрольных?

Решение: Имеет 65 школьников – «зайцы». Рассмотрим множество наборов из трёх оценок за соответствующие контрольные. Количество таких наборов или 64 (4 возможности за каждую из трёх работ) – «клетки». Поскольку, то по принципу Дирихле каким-то двум учащимся отвечает один набор оценок.

Задача 3. В школе 735 учащихся.  Можно ли утверждать, что, по крайней мере,  3 ученика должны отмечать день своего рождения в один день?

Решение: Да. Так как даже с учетом високосного года:    или 

Задача 4. Верно ли, что из 6-ти любых целых чисел, найдутся два числа, разность которых делиться на 5?

Решение: Пусть любые 6 чисел – это зацы. Остатки от деления на т. е. их всего 5 – это клетки, в каждую из которых будем помещать числа, дающие одинаковый остаток при делении на 5. Имеем 6 зайцев в 5 клетках. Значит, обязательно найдется два числа, дающих одинаковые остатки при делении на 5. Значит, их разность делится на 5.

Задача 5. В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Решение: По условию задачи наибольшее число ошибок, сделанных в работе 13. Значит, ученики могли сделать 0, 1, 2, ..., 13 ошибок. Эти варианты будут "клетками", а ученики станут "зайцами". Тогда по (обобщенному) принципу Дирихле (14 клеток и 30 зайцев) найдутся три ученика, попавших в одну "клетку", то есть сделавших одинаковое число ошибок.

Задача 6. В мешке лежат шарики 2-х разных цветов (много белых и много черных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета.

Решение: Это - просто применение принципа Дирихле: зайцами будут взятые шарики, а клетками - черный и белый цвета. Клеток две, поэтому если кроликов хотя бы три, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика). С другой стороны, взять два шарика мало, потому что они могут быть двух разных цветов. Ответ: 3 шарика.

Задача 7. В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было:

1) не менее 4 карандашей одного цвета;

2) по одному карандашу каждого цвета;

3) хотя бы 6 карандашей синего цвета.

Решение: 1) Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "зайцами", а цвета - "клетками"), по крайней мере, 4 карандаша будут одинакового цвета, если вынуть 13 карандашей.

Докажем, что n = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.

Случаи 2) и 3) решаются аналогично.

Ответ: 1) 13; 2) 10+8+8+1=27; 3) 10+8+4+6=28.

Задача 8. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 лежат 5 точек. Доказать, что найдутся две точки из пяти, расстояние между которыми меньше 0,5.

Решение: Пусть 5 точек – «зайцы». Так как «клеток» должно быть меньше, то пусть их будет 4. Чтобы получить 4 «клетки», разобьем равносторонний треугольник с помощью средних линий на 4 равных треугольника – «клетки». Так как «зайцев» - 5,  «клеток» - 4 и 5>4, то по принципу Дирихле найдется клетка – равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее 2 зайцев – точек. А так как все 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике будет меньше, чем 0,5см, то мы доказали, что между некоторыми 2 точками из 5 расстояние будет меньше, чем 0,5 см.

Задача 9. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка - точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.

Решение: Весь ковер можно накрыть такими 25-ю заплатами. По принципу Дирихле какая-то из этих заплат накроет не менее трех дырок, так как

Задача 10. На окно размером село 25 мух. Докажите, что квадратной мухобойкой можно прихлопнуть сразу трёх мух.

Решение: Разделим окно на 12 квадратов размером . Если в каждом квадрате не более двух мух, то всего на окне не более мух, а по условию мух 25, значит, в каком-то квадрате сидит хотя бы три мухи. Мухобойка закроет этот квадрат. Значит, такой мухобойкой можно прихлопнуть сразу трёх мух.

Список использованной литературы

1. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 5 – 8 класс. Часть 1. – Ростов-на-Дону: Легион, 2010 г.

2. Шесть зайцев в пяти клетках // Квант. - 1977. - №2. - С. 17-20.

3. Фоминых. Дирихле. // Ж-л «Математика в школе». -1996. - №3.

Интернет-ресурсы