В помощь учителю
СЕМИНАР-ПРАКТИКУМ
для учителей математики
С целью обмена опытом по решению планиметрических задач, подготовки учащихся к выпускным экзаменам, а также к III этапу районного интерактивного математического конкурса «Эрудит» 30.03.2018г. на базе государственного учреждения образования « Гимназия г. п. Брагина» прошёл семинар-практикум для учителей математики по теме: «Приёмы и методы решения планиметрических задач». Каждому учителю было предложено подобрать несколько геометрических задач с оригинальным, нестандартным методом их решения. Порой многие задачи сложного содержания можно решить быстро, упрощенными способами, что экономит время, например, на контрольной работе или при выполнении заданий на ЦТ.
Предлагаем Вашему вниманию некоторые из них.
Формула Пика.
Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь
фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.
Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим она будет крайне полезна. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.
В задачах, которые будут на ЦТ, на олимпиадах есть группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади.
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём площадь треугольника:
Отметим узлы:
1 клетка = 1 см
M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)
Ответ: 40,5см?
Найдём площадь многоугольника:
Отметим узлы:
M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)
Ответ: 49см?
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.
А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им могут быть на ЦТ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:
Задача.
Отметим узлы:
M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)
Ответ: 9,5см?
Задача. Основание равнобедренного треугольника равно 
, а медиана боковой стороны – 5.Найдите длины боковых сторон.
Решение. Обозначим 
, тогда 
.
Запишем для треугольников АВМ, АМС теорему косинусов
и решим систему уравнений:
Сложим эти два равенства:
, 
, 
, 
.
Ответ: АВ=ВС=6
Задача. Найти площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и 
, а медиана третьей стороны равна 2.
Решение. 1 способ. Воспользуемся формулой для медианы треугольника:
; 
; 
; 
.
Найдем площадь по формуле Герона:
.
.
Ответ: 
2 способ. Проведём дополнительные построения: достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD. Площадь данного треугольника равна половине площади полученного параллелограмма, а также равна площади треугольника ABD, площадь которого находим по формуле Герона:
АВ=1; AD=
; BD =4
Задача. (Республиканская олимпиада, 8 (9) класс) В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Известно, что центры окружностей, вписанной в треугольник АВК и описанной около треугольника АВС, совпадают. Найдите углы треугольника АВС.
Решение. Зная, что радиусы вписанной в треугольник АВК окружности являются биссектрисами его углов, обозначим один из таких углов за ?.
Так как сумма углов треугольника равна 180 ?, то остаётся только посчитать количество всех углов ?. (Ответ: 36?, 72?, 72?)
