№25. Окружности и их элементы
1. Задание 25 № 000. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, чтоОК и OL равны.
2. Задание 25 № 000. 
В окружности с центром 
проведены две равные хорды 
и 
. На эти хорды опущены перпендикуляры 
и 
. Докажите, что 
и 
равны.
3. Задание 25 № 000. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
4. Задание 25 № 000. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношенииm:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Треугольники и их элементы
1. Задание 25 № 000. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D иE так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD иBE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
2. Задание 25 № 000. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
3. Задание 25 № 000. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
4. Задание 25 № 000. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
5. Задание 25 № 000. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ? EF.
6. Задание 25 № 000. 
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
7. Задание 25 № 000. На стороне 
треугольника 
отмечены точки 
и 
так, что 
. Докажите, что если 
, то 
.
8. Задание 25 № 000. На медиане 
треугольника 
отмечена точка 
. Докажите, что если 
, то 
.
9. Задание 25 № 000. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
10. Задание 25 № 000. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки 
и 
равны.
11. Задание 25 № 000. Два равных прямоугольника имеют общую вершину 
(см. рис.). Докажите, что площади треугольников 
и 
равны.
12. Задание 25 № 000. В параллелограмме 
проведены высоты 
и 
. Докажите, что 
подобен 
.
13. Задание 25 № 000. Докажите, что у равных треугольников 
и 
биссектрисы, проведённые из вершины 
и 
, равны.
14. Задание 25 № 000. В треугольнике 
угол 
равен 36°, 
— биссектриса. Докажите, что треугольник 
— равнобедренный.
15. Задание 25 № 000. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольникаABC лежат на одной окружности.
16. Задание 25 № 000. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ?C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
17. Задание 25 № 000. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
18. Задание 25 № 000. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
19. Задание 25 № 000. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
20. Задание 25 № 000. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
21. Задание 25 № 000. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
22. Задание 25 № 000. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
23. Задание 25 № 000. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Четырёхугольники и их элементы
1. Задание 25 № 77. 
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
2. Задание 25 № 000. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L— середина стороны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.
3. Задание 25 № 000. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N— середина стороны AB. Докажите, что CN — биссектриса угла BCD.
4. Задание 25 № 000. 
В параллелограмме АВСD точки E, F, Kи М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
5. Задание 25 № 000. 
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
6. Задание 25 № 000. 
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.
7. Задание 25 № 51. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, чтоEC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
8. Задание 25 № 000. В параллелограмме 
проведены высоты 
и 
. Докажите, что 
подобен 
.
9. Задание 25 № 000. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки и равны.
10. Задание 25 № 000. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
11. Задание 25 № 000. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
12. Задание 25 № 000. Дана равнобедренная трапеция 
. Точка 
лежит на основании 
и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что 
— середина основания 
.
13. Задание 25 № 000. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
14. Задание 25 № 000. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD иCD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
15. Задание 25 № 000. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
16. Задание 25 № 000. 
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
17. Задание 25 № 000. 
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
18. Задание 25 № 000. 
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.
19. Задание 25 № 000. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
20. Задание 25 № 000. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
21. Задание 25 № 000. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
22. Задание 25 № 000. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20,BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
23. Задание 25 № 000. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
24. Задание 25 № 000. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
25. Задание 25 № 000. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
26. Задание 25 № 000. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
27. Задание 25 № 000. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
28. Задание 25 № 000. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB?IJ.
29. Задание 25 № 000. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
30. Задание 25 № 000. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.
31. Задание 25 № 000. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
