Математическая игра «Домино». Финальный тур. 31 марта 2017 г.

Условия.

0–0. Есть 2 банки воды, в одной – литр воды, другая ? пуста. Из первой банки во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую ? треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую ? четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой банке после 25 переливаний?

0–1. Какое число надо прибавить к свободному члену квадратного трехчлена x2+3x+1, чтобы его корнем стало число 1?

0–2. Шесть футбольных команд сыграли однокруговой турнир и набрали соответственно 13, 10, 7, 5, 3 и 2 очка. Сколько ничьих было в турнире, если за победу команде даётся 3 очка, за ничью 1 очко и за поражение 0 очков? В однокруговом турнире каждая команда с каждой играет ровно один матч.

0–3. Решите уравнение: x(x + 1) = 2016?2017.

0–4. При каких значениях параметра a вершины и две точки пересечения (которые обе есть) парабол y=x2  и y=a–x2 лежат на одной окружности?

0–5. Какое наибольшее значение может принимать наибольший угол треугольника, в котором некоторая медиана в два раза короче стороны, к которой эта медиана проведена?

0–6. На прямой стоит 20 точек. Рассмотрим все 190 отрезков с концами в этих точках. Оказалось, что все длины этих отрезков — натуральные числа. Какое наибольшее количество нечётных чисел может быть среди этих 190 длин?

1–1. Решите неравенство .

1–2. Укажите все треугольники, в которых синус и косинус одного из углов противоположны по значению.

1–3. Сумма каких-то двух различных делителей натурального числа n равна 1000. Какое наименьшее число различных простых делителей может иметь число n?

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

1–4. Попарно различные целые числа a, b, c удовлетворяют равенству: a2b3c4=64. Сколько различных значений может принимать число b?

1–5. Прямая, перпендикулярная гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Е и D соответственно. Найдите угол между прямыми AD и ВЕ.

1–6. Приведите пример бесконечного множества натуральных чисел n таких, что числа n и 2n имеют одинаковые ненулевые произведения цифр.

2–2. На рисунке изображен график функции . Найдите координаты точки А. 

2–3. Найдите все тройки простых чисел вида n–14, n, n+2000. 

2–4. Фигуру, изображённую на рисунке, разрежьте на 3 части  и сложите  из них  квадрат.

2–5. В футбольном турнире 10 команд сыграли по разу каждая с каждой и набрали ровно по x очков. Каково наибольшее возможное значение x? Напомним, что в футболе за победу дается три очка, за ничью – одно, за поражение – 0. 

2–6. На острове живут два клана – Рыцари и Лжецы (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). 2016 жителей острова выстроились в круг. Каждый сказал: «Мои соседи из одного клана». Сколько лжецов могло быть в кругу?

3–3. Набор состоит из 100 прямоугольных деталей 1?1. 1?2, …, 1?100. Найдите такое наименьшее натуральное n, что в квадратную коробку со стороной n можно уложить (в один слой) два таких комплекта.

3–4. При каких натуральных n число n2 – 1 является степенью простого числа?

3–5. На боковых равных сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС нашлись такие точки М и К, что АМ=АК=АС и отрезки АК и МС перпендикулярны. Найдите угол В треугольника АВС.

3–6. На какой наибольшей квадратной клетчатой доске можно выставить ровно девять не бьющих друг друга королей так, чтобы после этого к ним нельзя было добавить ни одного короля с соблюдением условия не бить друг друга?

4–4. В королевстве Островения король решил построить 25 городов на 17 необитаемых островах так, чтобы на каждом острове находился хотя бы один город. Между каждой па­рой городов, расположенных на разных островах, будет установлено прямое паромное сообщение. Найдите наименьшее возможное количество паромных “линий”.

4–5. Полукруг с диаметром АК (где К лежит на гипотенузе АВ) в точке М касается катета BC прямоугольного треугольника ABC, в котором ?В=20°. Найдите угол САМ.

4–6. Найдите наименьшее число, у которого произведение целой части на дробную равно 2017. [x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x; {x}=x–[x]  – дробная часть числа x.

5–5. Точка D — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC, ?ВАС = 35°. Точка B1 симметрична точке B относительно прямой СD. Найдите угол AB1C.

5–6. Король обошёл все поля шахматной доски, побывав на каждом поле по одному разу. Когда соединили центры полей, по которым он последовательно проходил, получилась ломаная без самопересечений. Найдите наибольшее возможное число диагональных ходов. Приведите ответ и пример.

6–6. Вдумчивый мальчик Вася выписал в несколько тетрадок все возможные множества из 7 различных натуральных чисел, не превосходящих 15. Оказалось, что любые два непересекающихся множества попали в разные тетрадки. Какое наименьшее количество тетрадок мог использовать Вася? Приведите ответ и пример.