Олимпиада по математике для учащихся 9 класса

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА

(время выполнения – 45 мин)

ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 БАЛЛА:

1. Число 2014! оканчивается цифрой

А) 2;                  Б) 0;                  В) 1;          Г) 4;

Д) невозможно определить без применения вычислительных устройств.

2. В прямоугольнике  АВКМ сторона АВ в два раза больше стороны АМ. Прямоугольник повернули против часовой стрелки на 900 вокруг середины стороны АВ. В результате получился поворот

3. Даны числа: 191; 193; 195; 197; 199. Сколько среди них простых?

А) 1;  Б) 2;  В) 3;  Г) 4;  Д) 5.

4. Множество из букв какого слова не является подмножеством объединения множеств букв, из которых состоят слова  «песок» и «пластичность»?

А) точность;  Б) стекло;  В) новость; 

Г) личность;  Д) кость.

ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 БАЛЛА:

5. В корзине лежат астры четырёх разных цветов, красные и белые георгины и жёлтые хризантемы. Сколькими способами можно составить букет из трёх астр, двух георгинов и двух хризантем так, чтобы астры в букете обязательно были разного цвета?

А) 72;                Б) 96;                В) 144;                Г) 192;                Д) 256.

6. В магазин доставили 6 бочек керосина. На рисунке обозначено, сколько вёдер было в каждой бочке. В первый же день нашлось два покупателя; один купил целиком две бочки, другой – три, причём первый купил вдвое меньше керосина, чем второй. Так что не пришлось даже раскупоривать бочек.

Из 6 бочек на складе осталась всего одна. Которая?

А) 20;  Б) 16;  В) 18;  Г) 31;  Д) 19.

7. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом данного треугольника вокруг вершины прямого угла на 450 получается другой равнобедренный треугольник. Найдите площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.

А) ;  Б) ;  В) ;  Г) ;  Д) .

8. Укажите верное утверждение:

А) все простые числа – нечётные;

Б) любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел несколькими различными способами;

В) для любого натурального числа n выражение n2 + n + 11 задаёт простое число;

Г) любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n - 1 или 6n + 1,

где n – натуральное число;

Д) если любое простое число увеличить на 2, то получится простое число.

ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 БАЛЛОВ:

9.  Для посадки привезли 5 кустов красных и 7 кустов белых роз. Наугад взяли два куста и посадили рядом. Какова вероятность того, что розы на этих кустах будут одного цвета?

А) ;        Б) ;                 В) ;                Г) ;                Д) .

10. В древнеиндийском трактате содержится такой способ вычисления этой величины: «…длина стороны увеличивается на треть, а эта треть – на её четверть, и 1/34 этой четверти  вычитается».

Найденное число приближённо равно числу

А) cos 30o;  Б) sin ;  В) ?;  Г) ;  Д) .

11. Пифагор рассматривал различные последовательности чисел, которые можно было представить в виде многоугольников, выложенных из камней или бусин. Если, например, семейство треугольных чисел 1; 3; 6; 10, 15… выглядит так,

то последовательность чисел 12, 22, 35 входит в семейство чисел

А) квадратных;  Б) четырёхугольных;  В) пятиугольных;

Г) шестиугольных;  Д) семиугольных.

12. На координатной плоскости фигура задана неравенством:

x2 + y2 ? 8 |x| + 4 |y|

Площадь этой фигуры равна

А) 40?+64;          Б) 10?+16;          В) 20?;         Г) 80?;        Д) 80?+128.

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА

(время выполнения – 45 мин)

Ответы и решения

ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 3 БАЛЛА:

1. Число 2014! оканчивается цифрой

А) 2;                  Б) 0;                  В) 1;          Г) 4;

Д) невозможно определить без применения вычислительных устройств.

Решение. 2014! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · 2013 · 2014. В произведении встречается много множителей, оканчивающихся на 0. Значит и произведение оканчивается на 0.

Ответ: Б) 0.

2. В прямоугольнике  АВКМ сторона АВ в два раза больше стороны АМ. Прямоугольник повернули против часовой стрелки на 900 вокруг середины стороны АВ. В результате получился поворот

Ответ: Д).

3. Даны числа: 191; 193; 195; 197; 199. Сколько среди них простых?

А) 1;  Б) 2;  В) 3;  Г) 4;  Д) 5.

Решение. Только число 195 составное. Оно имеет 8 делителей: 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195. Остальные простые.

Ответ: Г) 4.

4. Множество из букв какого слова не является подмножеством объединения множеств букв, из которых состоят слова  «песок» и «пластичность»?

А) точность;  Б) стекло;  В) новость;  Г) личность;  Д) кость.

Ответ: В) новость.

ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 4 БАЛЛА:

5. В корзине лежат астры четырёх разных цветов, красные и белые георгины и жёлтые хризантемы. Сколькими способами можно составить букет из трёх астр, двух георгинов и двух хризантем так, чтобы астры в букете обязательно были разного цвета?

А) 72;                Б) 96;                В) 144;                Г) 192;                Д) 256.

Решение. Так как астры должны быть разного цвета, то их выбираем 24 (4·3·2) способами. Два георгина можно выбрать тремя способами - 2 красных, 2 белых или один красный, второй – белый. Все хризантемы одинакового цвета, значит, добавляются любые два цветка, вариантов выбора не добавляется. Итак, всего можно составить 72 разных по цвету букета (24·3).

Ответ: А) 72.

6. В магазин доставили 6 бочек керосина. На рисунке обозначено, сколько вёдер было в каждой бочке. В первый же день нашлось два покупателя; один купил целиком две бочки, другой – три, причём первый купил вдвое меньше керосина, чем второй. Так что не пришлось даже раскупоривать бочек.

Из 6 бочек на складе осталась всего одна. Которая?

А) 20;  Б) 16;  В) 18;  Г) 31;  Д) 19.

Решение. Пусть первый покупатель купил a + b = x вёдер керосина, а второй c + d + e = 2x вёдер. Вместе они купили 3х вёдер. Значит, суммарное содержимое всех проданных бочек должно делиться на три. Все бочки содержат 119 вёдер, при делении 119 на 3 получим остаток 2. Значит, в оставшейся бочке должно быть такое количество литров керосина, которое делится на 3 с остатком 2.

15 и 18 делятся на 3 без остатка;  16, 19, 31 делятся на 3 с остатком 1.

20 делится на 3 с остатком 2.

Следовательно, осталась бочка, в которой 20 вёдер.

Ответ: А) 20.

7. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом данного треугольника вокруг вершины прямого угла на 450 получается другой равнобедренный треугольник. Найдите площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.

А) ;  Б) ;  В) ;  Г) ;  Д) .

Решение. Выделим синим четырёхугольник, являющийся общей частью двух треугольников.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника ; площадь его половины. Чтобы найти площадь маленького равнобедренного прямоугольного треугольника, найдём его сторону как разность стороны и высоты равнобедренного прямоугольного треугольника.

а - а =а.

площадь =(а)2 , после преобразования .

Площадь синего четырёхугольника получим как разность половины исходного треугольника и маленького равнобедренного прямоугольного треугольника  - = .

Ответ: Г).

8. Укажите верное утверждение:

А) все простые числа – нечётные;

Б) любое натуральное число, отличное от единицы, раскладывается на произведение простых чисел несколькими различными способами;

В) для любого натурального числа n выражение n2 + n + 11 задаёт простое число;

Г) любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n - 1 или 6n + 1, где n – натуральное число;

Д) если любое простое число увеличить на 2, то получится простое число.

Решение.

А) неверно, 2 – чётное простое число;

Б) неверно, любое натуральное число, отличное от единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей (основная теорема арифметики);

В) неверно, для n = 11 выражение n2 + n + 11 задаёт составное число 143;

Г) верно, любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n - 1 или 6n + 1, где n – натуральное число;

Д) неверно, если например простое число 7 увеличить на 2, то получится 9 - составное число.

Ответ: Г)

ЗАДАЧИ, ОЦЕНИВАЕМЫЕ В 5 БАЛЛОВ:

9. Для посадки привезли 5 кустов красных и 7 кустов белых роз. Наугад взяли два куста и посадили рядом. Какова вероятность того, что розы на этих кустах будут одного цвета?

А) ;        Б) ;                В) ;        Г) ;                Д) .

Решение. Посчитаем вероятность того, что оба куста будут с розами красного цвета. Вероятность того, что первый куст с красными розами - , а того, что второй куст окажется тоже с красными цветами - . Вероятность того, что оба куста с красными розами: ·= .

Посчитаем вероятность того, что оба куста будут с розами белого цвета. Вероятность того, что первый куст с белыми розами - , а того, что второй куст окажется тоже с белыми цветами - . Вероятность того, что оба куста с белыми розами:  ·= .

Найдём сумму: +=.

Ответ: Г).

10. В древнеиндийском трактате содержится такой способ вычисления этой величины: «…длина стороны увеличивается на треть, а эта треть – на её четверть, и 1/34 этой четверти  вычитается».

Найденное число приближённо равно числу

А) cos 30o;  Б) sin ;  В) ?;  Г) ;  Д) .

Решение. 1++•- ••= 1 + + - •= 1 + + = 1 + =1?1,4142

Ответ: Д) .

11. Пифагор рассматривал различные последовательности чисел, которые можно было представить в виде многоугольников, выложенных из камней или бусин. Если, например, семейство треугольных чисел 1; 3; 6; 10, 15… выглядит так,

то последовательность чисел 12, 22, 35 входит в семейство чисел

А) квадратных;  Б) четырёхугольных;  В) пятиугольных; 

Г) шестиугольных;  Д) семиугольных.

Решение. Треугольные числа: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28… можно представить в виде треугольников и задать формулой .

Квадратные числа 1; 4, 9; 16; 25 … разместим на квадратах, формула общего члена n2.

Последовательность пятиугольных чисел начинается с 1;  5. Продолжаем рисовать пятиугольные числа. Третье число – 12.

Проверим и следующее число. Понятно, что последовательность 12,22,35 входит в семейство пятиугольных чисел. Формула общего члена .

Ответ: В) пятиугольных.

12. На координатной плоскости фигура задана неравенством:

x2 + y2 ? 8 |x| + 4 |y|

Найдите площадь фигуры

А) 40?+64;          Б) 10?+16;          В) 20?;         Г) 80?;        Д) 80?+128.

Решение. Рассмотрим часть фигуры для положительных х и у.

Преобразуем неравенство и увидим, что граница фигуры сверху будет задана уравнением

(х-4)2 + (у-2)2 = 20, а снизу осями координат.

Площадь её складывается из площади полукруга = = 10? и площади треугольника 4•8 =16.

Заданная фигура будет складываться из 4-х таких частей. Значит, площадь равна

4(10? + 16) = 40?+64; 

Ответ: А).

Из набранного количества баллов складывается рейтинг успешности учащихся.

Критерии оценивания заданий приведены в таблице.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
6-7	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать  правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.