ПО МАТЕМАТИКЕ

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП, 2016-2017 УЧЕБНЫЙ ГОД

11 КЛАСС


Когда пассажиры вошли в пустой трамвай, 2/7  их заняли места для сидения. Сколько пассажиров вошло в самом начале, если после первой остановки их число увеличилось ровно на 15 % и известно, что трамвай вмещает не больше 180 человек?

2. Построить график функции .

3. Сколько пар натуральных чисел (a, b), где a ? b, удовлетворяют равенству НОК(a, b) = НОД(a, b) + 10?

4. На доске  выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007 восьмёрок). Из этого числа вычеркнули какие-то 200 цифр. Может ли оказаться, что полученное число будет кратно 7?

5. .  В остроугольном треугольнике АВС отрезок  МК, соединяющий основания высот АМ и ВК,  виден из середины Е стороны АВ под прямым углом. Найдите величину угла С.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАНИЯМ

ВОШ ПО МАТЕМАТИКЕ 11 КЛАСС ШЭ,

2016-17 УЧЕБНОГО ГОДА

1.  Ответ. 140.  Из условия видно, что число пассажиров делится на 7  и на 20 (15 % составляет  3/20 от общего числа). Следовательно, количество пассажиров изначально делилось на 140, но оно было меньше 180, а значит, равнялось 140. (Всего после первой остановки  - 161 человек.)

  Комментарий.  Ответ без  обоснования – 1 балл.  Доказательство того, что число вошедших пассажиров  делится на  7 – 1 балл. Доказательство делимости на 20 – также 1 балл.

2. Решение. Освободимся от знака модуля, задав функцию несколькими выражениями. Если , то есть если , то . Если , то есть если , то . Значит,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Мы видим, что на множестве графики функций и совпадают, а на множестве (0; 2) графики этих функций симметричны относительно оси х.

Построим график функции .

Ту часть графика, которая расположена выше оси х, и точки, лежащие на оси, оставим на месте, а ту часть графика, которая расположена ниже оси х, отразим симметрично относительно неё.

Получим график функции .

Вообще график функции у = | f(x)| можно получить из графика функции у = f(x), оставив на месте ту его часть, где f(x) ? 0 и симметрично отразив относительно оси х другую его часть, где f(x) < 0. Это следует из равенства

3. Решение. Известно, что НОК(a, b) делится на НОД(a, b). По условию НОК(a, b) - НОД(a, b) = 10. По теореме 2 (Если каждое из чисел делится на с, то их разность делится на с) 10 делится на НОД(a, b). Значит, НОД(a, b) может равняться числу 1, 2, 5 или 10. Разберём каждый случай.

Пусть НОД(a, b) = 1, тогда НОК(a, b) = 11, a•b = 1•11 = 11.Это возможно при a = 1,b = 11.

Пусть НОД(a, b)=2, тогда НОК(a, b)=12, a•b=2•12=24. Это возможно при a =2,b =12 и при a =4, b =6.

Пусть НОД(a, b) = 5, тогда НОК(a, b) = 15, a•b = 5•15 =75.Это возможно при a =5,b =15.

Пусть НОД(a, b) = 10, тогда НОК(a, b) = 20, a•b = 10•20 =200.Это возможно при a =10,b =20.

Ответ: 5.

4. Решение. Нет, не может. Если любую из цифр  8  заменить на  1 ,  то делимость на  7  не меняется, так как разность между старым и новым числом равна  7000…000  и, следовательно,  кратна  7 .  Значит, требуется установить, делится ли число  111…11  (1814  единиц)  на  7 . Выполняя деление столбиком, можно заметить, что число 111111 делится на 7, а числа из меньшего числа единиц не делятся. Но поскольку  1814  не кратно  6,  то полученное число не может оказаться кратным 7.

Комментарии.

Замечено, что можно 8 заменить на 1 и более ничего -  1 балл.

А если еще и объяснено почему, то  2 балла.

5. Решение. 

Ответ:  45?

1-й способ. Так как МЕ - медиана прямоугольного треугольника АМВ, проведенная из вершины прямого угла, то МЕ = 0,5 АВ. Аналогично, КЕ = 0,5 АВ. Следовательно, КЕ = ЕМ и треугольник КЕМ является равнобедренным прямоугольным треугольником и углы КМЕ и ЕКМ равны  по 45?. Так как треугольники КСМ и ВСА подобны и угол КМС равен углу  А треугольника  АВС, а в равнобедренном треугольнике ВЕМ (МЕ = ВЕ) , то получаем следующее равенство:

С другой стороны, . Сравнивая два последних равенства, получаем, что угол С равен  45?.

2-й способ: В равнобедренном треугольнике МЕВ (МЕ = ЕВ = 0,5 АВ)  , а в равнобедренном треугольнике АЕК (АЕ = ЕК = 0,5 АВ) . Получаем: ,  откуда  , и .

Комментарии.  Если доказано, что треугольник КЕМ равнобедренный – 2 балла.

Если также отмечено, что треугольники  МЕВ  и  АЕК равнобедренные – 4 балла.