ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (СПбГУ)

Факультет прикладной математики – процессов управления

«Утверждено»

на заседании Ученого совета факультета

прикладной математики – процессов управления

протокол года

(Решение учебно-методической комиссии факультета

от 01.01.2001, протокол № 13)

Декан: ___________________

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

на основную  образовательную  программу

послевузовского профессионального образования (аспирантура)

Вычислительные методы и технологии
в проблемах современного естествознания

по специальности научных работников

01.01.07 «Вычислительная математика»

Санкт-Петербург

2012

Специальность 01.01.07 - Вычислительная математика

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически. Производная по направлению. Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме. Интегрирование функций. Кратные интегралы. Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь. Элементы теории поля. Функциональные последовательности и ряды. Ряды Фурье. Метрические и нормированные пространства. Оператор сжатия. Теорема Банаха. Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций. Интеграл Лебега. Суммируемые функции. Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений Пикара. Теоремы о зависимости от параметров и начальных данных решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных систем с постоянными коэффициентами. Анализ траекторий на плоскости. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод малого параметра, теорема А. Пуанкаре. Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения. Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и второй метод Ляпунова. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и ее оценка. Зубова о границе области притяжения. Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная). Основная задача оптимального управления. Связь с задачами вариационного исчисления. Необходимые условия оптимальности. Оптимальное демпфирование переходных процессов. Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций. Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона. Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод сеток решения дифференциальных уравнений: аппроксимация, устойчивость, сходимость, консервативные схемы интегрирования. Элементы вариационного исчисления: условия экстремума интегрального функционала. Вариационные задачи на условный экстремум. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа. Характеристики задачи Коши, формула Эйлера-Даламбера. Распространение волн. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа. Уравнение теплопроводности, задача Коши-Дирихле. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа.

Литература:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971. , Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. , Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с. , Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с. , Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. , Методы вычислений. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с. , , Численные методы. М.: Наука, 2000. 622 с. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 470 с. , , Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970. равнения с частными производными. М., 1964. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.