Ключи

ВСЕРОССИЙСКАЯ  ОЛИМПИАДА  ШКОЛЬНИКОВ (2017 год)

по предмету «Математика»

ШКОЛЬНЫЙ  ЭТАП

10 класс

Вычислить:

Решение:

Пусть 2002 = n, тогда


Постройте график функции:

Указание:


Вася и Петя поделили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?

Решение:

Пусть x и  y – количество орехов, доставшихся соответственно Васе и Пете. Составим систему:

Из уравнения выразим  x: .  Для  y будем иметь систему неравенств:

Т. к – натуральное число, то при = 14 имеем: , а  при = 15 будет , то .

Таким образом,

Ответ: 25 и 14 орехов.


В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена медиана CD. Около треугольника  ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между центрами этих окружностей, если BC = 3, а радиус описанной около треугольника ABC окружности равен .

Решение: 

Пусть O1 – центр окружности радиуса  R, описанной около ?ACD, O2 – центр окружности радиуса r, вписанной в  ?BCD, E – середина BC.

Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают), проведенных к основанию (свойство равнобедренного треугольника).  Отсюда: , .

D – центр окружности, описанной около ?ABC. CD = AD = BD = . AB = 5.

?ABC - прямоугольный. AB = 5, BC = 3, AC = 4.

.

Пусть S - площадь  ?BCD,  p –его  полупериметр.

, откуда .

DE – средняя линия ?ABC. .

.

Из прямоугольного треугольника O1DE по теореме Пифагора получаем искомое расстояние:

 

Ответ: 


Среди всех простых дробей, числитель и знаменатель которых являются двузначными числами, найдите наименьшую дробь, большую, чем.

Решение:

Требуется найти такую дробь , при которой    ? достигает минимума. Поэтому ищется максимальное двузначное b, при котором . Если при этом получается , то дробь будет всегда меньше, чем любая другая дробь с большим целым числителем и другим двузначным b. Решаем уравнение . Так как целое, то 3k, где k – произвольное целое число. Поэтому . Максимальным k, при котором a и b двузначные, будет  . Поэтому  и  , то есть искомая дробь:

Ответ: