педагог доп. образования

МБОУ лицея №1 г. Комсомольска-на-Амуре.

Тема «Касающиеся окружности » выбрана автором по нескольким причинам. Три самые важные состоят в следующем:

Эта тема очень хорошо подходит для финального обобщения и повторения курса Геометрии 7-9 – решая задачи на эту тему вспоминаешь самые различные вопросы планиметрии: треугольники, многоугольники, окружности, касательные, площади. Имеется много интересных и содержательных задач о касающихся окружностях Наконец, задачи на касание окружностей, регулярно встречаются на ОГЭ у девятиклассников и профильном ЕГЭ у одиннадцатиклассников.

В связи с этим надеюсь, что данная подборка задач, снабженная перечнем необходимых для решения фактов и идей, окажется полезной учителям математике и школьникам, интересующимся геометрией.


Касающиеся окружности.


Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.

Свойства окружности.


1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.


НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.


2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l — касательная к окружности.

3) Если прямые, проходящие через точку A, касаются окружности в точках B и C, то AB = AC.

4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.


Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания). Касание бывает внутренним и внешним.

Главное свойство касающихся окружностей: Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров (и в случае внешнего и в случае внутреннего касания).

Доказательство: проведем касательную и радиусы в точку касания. Радиусы с касательной перпендикулярны, следовательно, радиусы параллельны. А параллельные прямые, проходящие через общую точку (касания) совпадают.


Ключевые задачи:


Задача 1. Окружности радиусов r и R (R > r) касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D, с большей — B и C соответственно. Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.

Решение. Опустим перпендикуляр O1P из центра O1 на O2B. Из прямоугольного треугольника O1PO2 находим, что O1O2 = r + R, O2P = R ? r, O1P = = 2.

Поэтому AB = O1P = 2.Поскольку MK = MB и MK = MA, то NM = 2MK = AB = 2.

Комментарий 1: построение перпендикуляра O1P – очень частое дополнительное построение для такой конструкции – пара окружностей с общей внешней касательной. Это построение одно из самых полезных для задач, приведенных ниже.

Комментарий 2: Точка пересечения общих внешних касательных двух окружностей лежит на линии центров этой пары окружностей, так как оба центра лежат на биссектрисе угла между общими внешними касательными. Отсюда следует, что PO1O2 равен половине угла между внешними касательными.

Задача 2 Окружности радиусов r и R (R > r) касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью — A и D, с большей — B и C соответственно. Докажите, что углы AKB и O1MO2 — прямые (O1 и O2 — центры окружностей).

Решение. Поскольку MO1 и MO2 — биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O1MO2 — прямой. Поскольку MA = MK = MB, то точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому ?AKB = 90?.

Рассмотрим пример применения ключевых задач:

Задача 3 В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.


Решение. Пусть O — центр окружности, вписанной в данную трапецию ABCD с основаниями AB и CD и боковыми сторонами

AD и BC (AD < BC, DC < AB).

Ясно, что вторая окружность касается большей боковой стороны BC.

Обозначим через ? угол ABC. Тогда, опустив перпендикуляр O1K из центра второй окружности на радиус первой, проведённый в точку M её касания с BC, найдём: sin?/2=3/5, cos?/2=4/5, tg?/2=3/4.

Из треугольника BOM находим, что BM = 16/3, Значит, CM = 3, BC =25/3, так как трапеция описанная, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон, т. е. 8+25/3=49/3. Следовательно, SABCD = 1/2 · 8 · 49/3 = 196/3.

Задачи для самостоятельного решения.


Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке C. Радиусы окружностей равны 2 и 7. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку C, пересекается с другой их общей касательной в точке D. Найдите расстояние от центра меньшей окружности до точки D. Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку A с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8. Найдите отношение радиусов двух окружностей, касающихся между собой, если каждая из них касается сторон угла, равного ?. В равнобедренной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 1, вписана в трапецию, а вторая касается двух сторон трапеции и первой окружности. Расстояние от вершины угла, образованного двумя сторонами трапеции, касающимися второй окружности, до точки касания окружностей вдвое больше диаметра второй окружности. Найдите площадь трапеции. В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите площадь параллелограмма. Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD. Две окружности радиусов R и r касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, и центр которой находится в точке касания двух данных окружностей между собой. В угол величины 2? вписаны две касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешне в точке C. К ним проведена общая внешняя касательная AB, где A и B — точки касания. Найдите стороны треугольника ABC. Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной. Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая AC пересекает  вторую  окружность в точке D, отличной от C. Найдите BC, если AC = 9, CD = 4. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что AD ? BC.

б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 1 и 4.

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найдите площадь трапеции, образованной общими внешними касательными к этим окружностям и хордами, соединяющими точки касания. Две окружности радиусов 5 и 4 касаются внешним образом. Прямая, касающаяся меньшей окружности в точке A, пересекает большую в точках B и C, причём AB = BC. Найдите AC. Две окружности радиусов 5 и 3 касаются внутренним образом. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3 : 1. Найдите длину этой хорды.

Использованные материалы:

Интернет-ресурс  ИПС «Задачи по геометрии» http://zadachi. mccme. ru Это должен знать каждый матшкольник. МЦНМО 9-е, стереотипное. 2017.