ГБПОУ Колледж «Царицыно» отделение политехническое | Экзамен по дисциплине ЕН 02.Теория вероятностей и математическая статистика по специальности 09.02.01. Компьютерные системы и комплексы 3 курс, 6 семестр | Руководитель учебно- методического отдела ___________________ // Заведующий кафедрой ____________________ // |
Теоретическая часть.
| Введение. История развития теории вероятностей как науки. |
| Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, числа сочетаний. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. |
| Виды случайных событий. Алгебра событий. Классическое и статистическое определения вероятности. |
| Правило сложения и умножения вероятностей случайных событий |
| Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. |
| Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий. |
| Формула полной вероятности. Формулы Байеса. |
| Повторение испытаний. Формула Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа. |
| Виды случайных величин: дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей случайной величины. |
| Дискретные случайные величины и их числовые характеристики |
| Функция и плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. |
| Числовые характеристики непрерывной случайной величины, их свойства. |
| Распределение Пуассона и его числовые характеристики |
| Нормальное распределение |
| Распределения, связанные с нормальным распределением |
| Показательное распределение |
| Экспоненциальное распределение Предельные теоремы |
| Распределение функции одного и двух случайных аргументов. Системы двух случайных величин. |
| Математическая статистика как наука. Применение статистики в жизни. Генеральная совокупность и выборка. Типы выборок. |
| Вариационный ряд. Построение вариационного ряда. Статистические характеристики вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. |
| Нахождение статистических характеристик выборки |
| Генеральная и выборочная средние. Генеральная и выборочная дисперсии. |
| Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные. Точность оценки. |
| Интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. |
| Точечные оценки математического ожидания и дисперсии |
| Интервальные оценки параметров нормального распределения |
| Методы получения точечных оценок |
| Интервальная оценка вероятности события |
| Понятие о корреляции. Коэффициент линейной корреляции. Корреляционные зависимости. Линейная, нелинейная, множественная корреляция. Регрессия. |
| Коэффициент линейной корреляции |
| Уравнения линий регрессии |
| Криволинейная корреляция |
| Метод наименьших квадратов. Отыскание параметров эмпирических формул. |
| Проверка статистических гипотез. Параметрические и непараметрические критерии. Критерий хи-квадрат Пирсона. |
| Статистическая проверка статистических гипотез |
| Общая идея метода статистических испытаний. Метод Монте - Карло. |
Практическая часть.
В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать? Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта? Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно? В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии? В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? Садовник должен в течение трех дней посадить 6 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день? Сколько существует четырехзначных чисел (возможно, начинающихся с нуля), сумма цифр которых равна 5? В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины? Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны. Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N–M черных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых шаров. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными? Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола? Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали? В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что, хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной? Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка». Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба). В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей? Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины X – числа опробованных ключей
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и дисперсию
X | 1 | 2 | 4 | 5 |
P | 0.31 | 0.1 | 0.29 | 0.3 |
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, используя формулы для их определения.
В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым)?
В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.
На складе находятся 26 деталей, из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?
Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.
На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины? В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет? Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок? Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает
дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа
светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое
ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины?
В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X.1. Найти значения параметров a, b
2. Построить график функции распределения F(x)
3. Найти вероятность P(? < X < ?)
4. Найти плотность распределения p(x) и построить ее график.
В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между m1 и m2. Найти вероятность того, что включенных ламп из n окажется 3200n=6400, m1=3120, m2=3200. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна 0,024. Найти вероятность, что за смену откажут 6 элементов. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз. Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность изготовления бракованной детали 0,0001. Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено 5 бракованных деталей. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:
– наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
– число бракованных изделий в коробке не превосходит 20
Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных. Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная, равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 200 деталей окажется 5 бракованных? В партии однотипных деталей стандартные составляют 97%. Наугад из партии берут 400 деталей. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для дискретной случайной величины Х — появления числа стандартных деталей среди 400 наугад взятых. Два ювелирные заводы производят свадебные кольца в объеме 3:7. Первый завод производит 95% колец без дефекта, второй – 90%. Молодая пара перед свадьбой покупает пару колец. Построить закон распределения, вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.65) Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятности следующих событий:
а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;
б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию;
в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.
66) Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных будет от 456 до 545 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.
67) Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4.
68) Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 новорожденных будет 95 девочек.
69) При механизированной уборке картофеля повреждается в среднем 10 % клубней. Найти вероятность, того что в случайной выборке из 400 клубней картофеля повреждено от 15 до 50 клубней.
70) Есть 100 лунок, по которым случайным образом разбрасывают 30 шариков. Каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую лунку (в одну лунку попадает не более одного шарика). Найти вероятность того, что в выбранную лунку попадет ровно один шарик.
71) Проводится 200 независимых опытов с вероятностью успеха в каждом 24%. Какова вероятность успешного проведения 50 опытов?
72) Вероятность выхода из строя за смену одного станка равна 0,1. Определить вероятность выхода из строя от 2 до 13 станков при наличии 100 станков.
73)Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик
74)Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.
75)Магазин получил 1000 бутылок водки. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки.
76) При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.
77)Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 1/4. Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?
78)Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
79)Станок штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная, равна 0,02. Какова вероятность того, что среди 200 деталей окажется 5 бракованных?
80) Баскетболист делает 15 бросков в кольцо, вероятность попадания при каждом из них равна 0,7. Найти наивероятнейшее число попаданий им в кольцо и соответствующую вероятность.
81) В отделе работает 7 сотрудников, вероятность заболевания каждым из них ОРВИ равна 0,3. Найти наивероятнейшее число заболевших.
Преподаватель ________________________________________
