Олимпиада по математике среди 5-11-х классов.
2 карандаша, 3 тетради и 4 ручки стоят вместе 112 рублей, а 2 карандаша и 1 тетрадь ? 32 рубля. Сколько стоит комплект из одного карандаша, одной ручки и одной тетради?Квадрат назовём квадро-магическим, если в любом квадрате 2?2 сумма чисел одна и та же. Приведите пример квадро-магического квадрата 3?3 с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Сегодняшнюю дату (16 октября 2010 года) можно записать в виде 16.10.17. Для какой ближайшей в будущем даты запись указанного вида состоит из шести различных цифр?
На чемпионате мира по футболу из группового этапа в следующий (кубковый) этап выходят по 2 лучшие команды из 8 групп. Какое количество матчей будет сыграно в кубковом этапе (с учётом матча за 3-е место)?
5. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в некотором порядке числами 1, 2, …, 20. Какое наибольшее значение может принимать наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов? Приведите пример расстановки чисел и докажите максимальность возможного значения наименьшей из разностей.
На какое наибольшее число натуральных слагаемых с различным количеством цифр можно разложить число 2010? Приведите ответ и пример.Электронные часы показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько времени в течение суток на табло часов горят ровно три цифры 7?
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные ? больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
Клетки квадратной доски 9?9 раскрашены в белый и чёрный цвета. У каждой белой клетки, не лежащей на стороне квадрата, среди восьми её соседей ровно пять окрашено в чёрный цвет, а у каждой чёрной, не лежащей на стороне квадрата, ? ровно четыре белых соседних клетки. Сколько всего белых клеток на этой доске?
5. На съезде присутствовали 6 человек, каждый из которых был либо рыцарем, который всегда говорит только правду, либо лжецом, который всегда лжёт. У каждого делегата есть знакомые с ним. Первый произнес: «Среди моих знакомых ровно 5 рыцарей», второй: «Среди моих знакомых – ровно 4 рыцаря», и так до последнего, который сказал, что среди его знакомых рыцарей нет. Сколько рыцарей (и кто именно) могло присутствовать на съезде?
Можно ли отметить на окружности 12 точек так, что найдутся правильные трёх-, четырёх, пяти - и шестиугольник с вершинами в этих точках? У правильного многоугольника равны между собой все углы и равны между собой все стороны.
Найдите сумму всех цифр всех натуральных чисел от единицы до миллиарда.
Приведите пример набора из 4 натуральных чисел таких, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных.
5. Электрик был вызван для ремонта гирлянды из четырёх соединённых последовательно лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды уходит 10 секунд, на завинчивание ? 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, мало. За какое наименьшее время электрик заведомо может найти перегоревшую лампочку, если у него есть одна запасная исправная лампочка? Приведите пример действий электрика и докажите минимальность потраченного времени
1.Сколько трёхзначных чисел, делящихся на 3 и не содержащих в своей десятичной записи тройки?
2. Дядька Черномор хочет показать своим богатырям-королевичам такую расстановку 33 королей на шахматной доске, что каждый король находится под защитой не более чем двух других королей (король защищает все соседние по стороне или вершине клетки). Есть ли у него такая возможность?
3.Точка K вне равностороннего треугольника АВС такова, что угол AKB=60°, а точки К и С лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что биссектриса угла AKB проходит через центр О треугольника АВС (центр треугольника – это точка пересечения медиан).
4. Разрежьте клетчатую фигуру, представленную на рисунке, на две равные части двумя разными способами.
5. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009.
Найдите все квадратные трехчлены ax?+bx+c, у которых сумма коэффициентов равна 0, а график соответствующей квадратичной функции симметричен относительно оси ординат.2. Во всех клетках таблицы 4?4 расставляются числа –1, 0 и 1. Какое наибольшее количество различных значений могут принимать 8 сумм чисел в строках и в столбцах?
3.ABCDEFGH? правильный восьмиугольник. M, N, K? середины отрезков AC, DE и АF соответственно. Докажите, что отрезки MN и CK равны и перпендикулярны.
4. Сколько существует решений ребуса 
? (Одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры.)
5.Среди цифр натурального числа ровно один ноль, а при его вычёркивании число уменьшается в 9 раз. Найдите все такие числа.
10 клас
Даны три действительных числа с ненулевой суммой. Докажите, что сумма трёх попарных произведений их трёх попарных сумм больше суммы их трёх попарных произведений.Расставьте в клетках таблицы 10?10 цифры так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке встречались все цифры от 0 до 9, а в любом прямоугольнике 2?5 (и горизонтально, и вертикально размещённом) сумма цифр была одна и та же.
Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009.
В квадратеABCDвзяты такие точкиPиQ такие, что угол BAP=60°, угол ABP=30°, угол DCQ = углу CDQ=45°.ПрямыеPQиCDпересекаются в точкеT. Найдите угол PTD.
На полях a1, a2 и b1 шахматной доски стоят соответственно белая, чёрная и красная ладьи. Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи (т. е. в одной горизонтали или вертикали с другой ладьёй). Сколько ещё других (не считая исходной) расстановок этих ладей на шахматной доске можно получить?
1. Найдите все пары квадратных трехчленов ax2+bx+c и bx2+cx+a, каждый из которых имеет ровно один действительный корень.
В плоскости правильного n-угольника А1А2…Аn отмечена точка К так, что биссектриса угла А1КА2 проходит через центр этого n-угольника. Покажите, что точка К необязательно лежит на серединном перпендикуляре к отрезку А1А2.
В клетках таблицы 3?3 расставлены положительные числа так, что каждое число в два раза меньше суммы всех чисел, находящихся в соседних с ним по стороне клетках. Верно ли, что среди этих 9 чисел можно выделить две группы по 4 числа с одинаковыми суммами?
Все углы при вершине S треугольной пирамиды SАВС равны 60°. Докажите, что полупериметр основания АВС больше наибольшего из рёбер SA, SB и SC.
На олимпиаде школьники решали 6 задач. Оказалось, что никакие два из них не решили вместе всех задач, и каждую задачу решило ровно 100 школьников. При каком наименьшем числе школьников это возможно?
