Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ (стр. 7 )

Ответ: а) б)

52. а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Перейдём к системе

Откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни на отрезке Получим число

Ответ: а) б)

53. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Перейдём к системе:

Решаем уравнение системы

Получаем:

С учётом всех ограничений

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число

Примечание. Отбор корней может быть обоснован и любым другим способом: с помощью графика, решения двойных неравенств и т. п.

Ответ: а) б)

54. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Имеем:

Откуда

б) Корни, принадлежащие отрезку , отберём с помощью единичной окружности.

Получаем

Ответ: а) б)

55. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) Отбор корней произведём с помощью единичной окружности. Отрезку принадлежат корни и

Ответ: а) б)

56. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Сведём уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Ответ: а) б)

57. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Сведём уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени.

Получаем , или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа

Ответ: а) б)

58. а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на промежутке

Решение.

Заметим предварительно, что в силу формулы справедлива формула откуда Имеем:

Неотрицательным значениям параметра k соответствуют положительные значения корней; они не лежат на отрезке Будем последовательно перебирать отрицательные значения параметра: значению соответствуют корни и значению соответствуют корни и значению соответствуют корни и Меньшим значениям k соответствуют меньшие значения корней; они также не лежат на заданном отрезке. Из вышеперечисленных корней заданному отрезку принадлежат числа и

Ответ: и