Применение теории возмущений для решения обратной задачи по определению параметров магнитной жидкости с учетом агломератов ферромагнитных наночастиц

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ АГЛОМЕРАТОВ ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОЧАСТИЦ

, ,

В ряде экспериментальных работ рассматривается образование агломератов наночастиц магнетика в объеме магнетитовых коллоидов при приложении магнитного поля [1-2]. Учет наличия агломератов должен приводить к более точному теоретическому описанию взаимодействия магнитной жидкости с электромагнитной волной СВЧ диапазона и, соответственно, к увеличению точности определения параметров [3].

Для учета распределения агломератов вдоль волновода восьмимиллиметрового диапазона длин волн применялся метод матриц передачи.

Для измерения коэффициента отражения электромагнитного излучения в СВЧ диапазоне применялся мостовой метод [3,4] с использованием двойного волноводного тройника, в измерительное плечо которого помещался слой магнитной жидкости, полностью заполняющий поперечное сечение волновода.

Расчет параметров производится в ходе решения обратной задачи

	(1)
	(2)

где ?0 – постоянная распространения СВЧ волны в пустой части волновода, ? – постоянная распространения в участке волновода, полностью заполненном магнитной жидкостью, L? – толщина слоя магнитной жидкости, Lf – расстояние до короткозамыкающего поршня, – экспериментальные значения (n шт.) коэффициента отражения для различных частот , R – теоретически рассчитанный коэффициент отражения для различных частот , – средний диаметр магнетитовых частиц, объемная доля твердой фазы, диэлектрическая проницаемость и тангенс угла диэлектрических потерь магнитной жидкости, соответственно.

Основная формула объемного возмущения волновода имеет вид [5]

,

((3)

где ?1, E, H – постоянная распространения, векторы напряженности электрического E и H магнитного поля СВЧ волны на участке волновода, содержащем материал, выступающий в качестве возмущения, ?0, E0, H0 – на участке невозмущенного волновода, ?? и ?? - разность между абсолютными диэлектрическими и магнитными проницаемостями материала, выступающего в качестве возмущения, и невозмущенной среды, A – площадь поперечного сечения волновода.

В случае, когда включения, рассматриваемые в качестве возмущения среды, слабо изменяют поле в волноводе, можно считать [6], что

.

((4)

Комплексная постоянная распространения ?1 определялась численными методами из уравнения

	((5)
	((6)

где – постоянная распространения в невозмущенном волноводе, – искомая комплексная постоянная распространения в волноводе с учетом возмущения в виде агломератов, ? – круговая частота электромагнитного излучения СВЧ диапазона, а – размер широкой стенки волновода, , – разность между абсолютными диэлектрическими и магнитными проницаемостями материала, выступающего в качестве возмущения, и невозмущенной среды в каждой точке поперечного сечения волновода, ?agl – объемная доля твердой фазы частиц магнетита, принявших участие в агломерации. При этом учитывалось, что с увеличением концентрации агломератов объемная доля твердой фазы в магнитной жидкости без агломератов уменьшается ? = ?0 – ?agl.

Искомыми являются значения параметров магнитной жидкости, при которых функция невязки (1), приобретает минимальное значение.

Для определения распределения агломератов слой магнитной жидкости при приложении магнитного поля напряженностью11,5 кЭ исследовался с использованием оптического микроскопа HIROX KH-7700. C помощью программного пакета Gwiddion было получено распределение агломератов по длинам и толщинам.

Для определения эффективной постоянной распространения ?eff на участке волновода, заполненного магнитной жидкостью, с учетом распределения агломератов вдоль оси z, использовался метод матриц передачи. Объем магнитной жидкости представлялся в виде многослойной структуры, состоящей из множества чередующихся слоев: слои толщиной L1 = 1 мкм, содержащие магнитную жидкость с агломератами магнитных частиц и слои толщиной L2 = 10 мкм, содержащие магнитную жидкость без агломератов.

Путем решения обратной задачи численными методами, была рассчитана эффективная постоянная распространения электромагнитной волны с учетом распределения агломератов вдоль направления распространения электромагнитного излучения в СВЧ диапазоне, которая  использовалась в выражении (2), при определении значения функции невязки (1). В итоге, методом последовательных приближений, были найдены искомые значения параметров, при которых функция (1) принимает наименьшее значение.

На рис. 1 показаны частотные зависимости коэффициента отражения электромагнитного излучения СВЧ диапазона при различных температурах. Кривая 1 рассчитана без учета агломератов, кривая 2 рассчитана с учетом агломератов, образующихся при величине внешнего магнитного поля 11.5 кЭ, распределенных по объему магнитной жидкости, точки, отмеченные треугольниками – экспериментальные данные. Частотная зависимость, рассчитанная с учетом пространственного распределения агломератов, лучше совпадает с экспериментальными данными, чем зависимость, рассчитанная без учета агломератов.

а)	б)
Рисунок 1 Частотные зависимости коэффициента отражения от слоя магнитной жидкости при температуре 253 К (а) и температуре 293 K (б): 1 – частотная зависимость без учета агломератов; 2 – частотная зависимость с учетом агломератов, распределенных по объему магнитной жидкости; 3 – экспериментальные данные.

Параметры агломератов определялись при решении обратной задачи методом наименьших квадратов с использованием функционала (1). В качестве экспериментальных значений использовались частотные зависимости коэффициента отражения от слоя магнитной жидкости при приложении магнитного поля с напряженностью 11,5 кЭ при температурах 253 К (рис. 5 а) и 293 К (рис. 5 б). Теоретические частотные зависимости рассчитывались по формуле (2). В качестве постоянной распространения в заполненной части волновода принималась эффективная постоянная распространения ?eff, зависящая от искомых параметров и учитывающая наличие агломератов в магнитной жидкости.

Результаты расчетов параметров без учета и с учетом наличия агломератов сведены в таблицу I, где – относительная  разница между значениями искомого параметра, рассчитанного без учета x0 и с учетом агломератов x1.

Таблица I. Параметры магнитной жидкости, рассчитанные без и с учетом агломератов.

Параметр	x0	x1	, %
d, нм	8	8,28	3,4
?	0,144	0,135	6,3
?	3,58	3,19	10,8
tg ?	0,045	0,052	13,5

В результате решения обратной задачи были определены средний диаметр магнетитовых частиц (8,28 нм), объемная доля твердой фазы (0,135), диэлектрическая проницаемость (3,19) и тангенс угла диэлектрических потерь (0,052). Полученные значения среднего диаметра магнетитовых частиц и объемной доли твердой фазы с учетом агломератов лучше согласуются с независимыми измерениями диаметра магнетитовых частиц по кривой намагниченности, чем без учета агломератов.

Литература

Vales-Prinzon  C., Alvarado-Gil J. J., Medina-Esquivel R., Martinez-Tores P. // J. Magn. Magnet. Mater., 2014,vol. 369,p. 114–121. A. F. Pshenichnikov, A. S. Ivanov. Magnetophoresis of particles and aggregates in concentrated magnetic fluids// Phys. Rev. E 86, 051401 (2012). , Скрипаль Ал. В.,  Скрипаль Ан. В., // ЖТФ, 2001,т.71, №12,с.26-29. , Скрипаль Ал. В.,  Скрипаль Ан. В.,  , , // ЖТФ, 2006,т.76, №11,с.126-129. // Радиотехника и электроника, 1957,т.2, №2, с.157-171. , // ТИРИ, 1962,т.50, №2,с.272-273