Олимпиада по математике. 8класс

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ. 8КЛАСС. 1. Как посадить 10 яблоней, чтобы нашлось 5 рядов, в каждом из которых ровно 4 яблони? 2. В четырехугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла четырехугольника равны, а два других различаются на 40°. 3. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см, в результате чего его площадь увеличилась на 39 см2. Найдите периметр исходного прямоугольника. 4. В десятичной записи трех различных чисел используются только цифры 0 и 1. Может ли одно из этих чисел быть средним арифметическим двух других? 5. Однажды несколько друзей обменивались рукопожатиями. В некоторый момент оказалось, что среди любых четырех из них имеется хотя бы один человек, который успел пожать руки трем другим. Доказать, что друзьям осталось сделать не более трех рукопожатий. ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 8КЛАСС I ЭТАП 1.Построить график функции y= (2б.) 2. В выражении 1 – 2 – 4 – 8 –16 = 19 расставьте несколько знаков модуля так, чтобы равенство стало верным. (3б.) 3. Пусть AC-наибольшая сторона треугольника ABC. На стороне AC выбраны точки N и M такие, что AM=AB, CN=CB. Докажите, что если BM=BN, то треугольник ABC равнобедренный.(4б.) 4. Четырёх кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы : 7 кг; 8 кг; 9 кг; 10 кг; 11 кг; 12 кг. Какова общая масса всех кошек? (5б.) 5. У Пети есть торт квадратной формы, в трёх углах (в верхних и правом нижнем) и в самом центре которого находится по изюминке. Петя хочет двумя прямыми разрезами разделить торт на 4 части, каждая из которых будет с изюминкой, так, чтобы ему достался кусок с изюминкой в правом верхнем углу и он составлял часть торта. Как Петя может разрезать торт? (5б.) Школьная олимпиада по математике 1. Решить систему уравнений. (4б) 2. Навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист прибыл в В через 2ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в А через 4,5ч после встречи. Сколько часов в пути был каждый? (6б) 3. Решить в целых числах: х2—3ху+2у2=3. (4б) 4. Упростить выражение: ( 4x-4- x-2+ 6x-1 -9 ):( 2x-4 + x-3 - 3x-2) (4б) 5. Мальчики составляют 45% всех учащихся в школе. Известно, что 30% всех мальчиков и 40% всех девочек учатся без троек. Сколько % всех учащихся учатся без троек? (4б) 6. Вычислить: (5б) 7. Доказать, что сумма трех последовательных степеней числа 2 делится на (3б) 8. Вычислить: 9. Какой цифрой оканчивается сумма 5435+28 21 (4б) 10. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами. Но в обратном порядке. Найдите это число. (5б) Второй (муниципальный) этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2010/2011 учебный год. 8 класс. Рядовой Степанов почистил ведро картошки за 4 часа, однако у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он наполнит такое же ведро чищеной картошки? (3 балла) Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама за 2, сын за 5, бабушка за 10. У них один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если по мосту идут двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Идти по мосту без фонарика нельзя. (Светить издали нельзя, перебрасывать фонарик через реку тоже нельзя). (4 балла) Решите уравнение: |x - 2005| +|2005 - x | =2006. (4 балла) Сколько среди натуральных чисел от 1 до 1983 таких, которые а) делятся на 7 и на 9; б) делятся на 9, но не делятся на 7? (4балла) Один из углов треугольника на 1200 больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведенная из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины? (5 баллов) ВТОРОЙ (МУНИЦИПАЛЬНЫЙ) ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2009/2010 УЧЕБНЫЙ ГОД. 8 КЛАСС. Найдите наименьше число, которое делится на 77, а при делении на 74 дает в остатке 48. (4 балла) Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живёт в 33км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25км/ч, а с пассажиром - 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идёт по дороге со скоростью 5 км/ч. Как им надо действовать, чтобы через три часа всей компанией оказаться у бабушки? (6 баллов) Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? (4 балла) Пусть в треугольнике АВС выполняется неравенство АС больше ВС. Докажите, что eсли CD - медиана треугольника АВС, то выполняется условие: угол ACD меньше угла BCD. (5 баллов) На огороженном квадратном поле, сторона которого равна 1км, были построены заборы, разделившие его на прямоугольные участки, размеры которых 5м на 20м и 6м на 12м. Какова общая длина построенных заборов? (6 баллов) ВТОРОЙ (МУНИЦИПАЛЬНЫЙ) ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2008/2009 УЧЕБНЫЙ ГОД. 8 КЛАСС. Клетки доски 8?8 раскрашены в шахматном порядке. Одним ходом разрешается перекрасить любую клетку в цвет одной из соседних с ней клеток. Можно ли с помощью таких перекрашиваний изменить цвет всех клеток на противоположный? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону)(4 балла) Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? (4 балла) Пусть в треугольнике АВС выполняется неравенство АС >ВС. Докажите, что для медианы CD треугольника АВС, выполняется условие: угол ACD меньше угла BCD. (5 баллов) Английская задача: Профессор математического факультета Мерль Уайт, профессор философии Лесли Блэк и секретарь деканата Джин Браун завтракали за одним столом. - Разве не удивительно, - заметила девушка, – что наши фамилии Блэк, Браун и Уайт и что у одного из нас волосы черные, у другого каштановые, а у третьего - совсем белые? -Действительно, забавно, - заметила особа с чёрными волосами. А вы обратили внимание, что ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии? -Точно, вы правы! – воскликнул (или воскликнула) профессор Уайт. Какого цвета волосы у профессора Блэка, если цвет волос у девушек не каштановый? РS. по - английски «уайт» - белый, «блэк» - черный, «браун» - каштановый.(4 балла) Найдите наименьше число, которое делится на 77, а при делении на 74 дает в остатке 48. (4 балла) ВТОРОЙ (МУНИЦИПАЛЬНЫЙ) ЭТАП ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2007/2008 УЧЕБНЫЙ ГОД. 8 КЛАСС. Найти трехзначное число по следующим данным: а) число делится на 5; б) если это число умножить на цифру его единиц, то результат будет больше суммы его цифр на 548. (3 балла) Из двух равных трапеций сложить параллелограммы. Применить результат к выводу формулы площади трапеции. (3 балла) Найти все целые числа х, у, удовлетворяющие уравнению ху = у + 2х. (4 балла) Доказать, что сумма расстояний всякой точки от вершин многоугольника больше его полупериметра. (4 балла) Доказать, что если число не делится на 7, то его куб, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 7. Установить, в каком случае надо куб числа увеличить, а в каком - уменьшить, чтобы деление нацело было возможным. (5 баллов)

Уроки

ЕГЭ ГИА ОЛИМПИАДЫ ГДЗ КЕНГУРУ РЕШЕБНИКИ ШПАРГАЛКИ ФОРМУЛЫ

Новости ЕГЭ и ГИА.

Решу егэ 2014 - advice-me. ru

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 8 КЛАСС

Олимпиадные задания по математике 8 класс

Задача 1.

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?

Ответ:

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10.
Нулем.

Задача 2.

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.
Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов?
Сколько и каких цветов было в каждом букете?

Ответ:

Решая уравнение, получаем 40 розовых гвоздик,120 белых гвоздик, 200 красных гвоздик. НОД (40, 120,200) равен 40, следовательно из 360 гвоздик можно составить 40 букетов, причем каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.

Задача 3.

Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом?

Ответ:

Да, при радиусе равном 2.

Задача 4.

После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое.
На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла?

Ответ:

Мыла хватит еще на одну стирку, т. к. объем оставшегося мыла составил 1/8 часть первоначального, израсходовано мыла: 1 - 1/8 = 7/8 куска,
значит на каждую стирку расходовалось 1/8 часть куска, именно столько осталось.

Задача 5.

Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ?

Ответ:

В произведении 1*2*3…*13 есть множители 2, 5 и 10, значит число 13!
Заканчивается двумя нулями.

Задача 6.

Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию.
Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию?

Ответ:

7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники.
Лыжников всего 17человек, значит 7 человек надо «взять» из хора.

Задача 7.

Окружность касается квадрата извне и «катится» по нему без скольжения.
Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой путь пройдет центр окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине окружности и радиус окружности равен а см?
Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника.

Ответ:

В случае квадрата каждая точка окружности сделает 4 оборота около своего центра.
Центр окружности сделает четверть оборота около каждой вершины квадрата.
За один обход центр окружности совершает путь, равный 5*2Па см.
В случае треугольника - соответственно 3 оборота и 8П а см

Задача 8.

Во время похода палатки расположились в т. А, В, и С.
В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего костра,
чтобы расстояние от него до палаток было одинаковым?

Ответ:

Точка осей симметрии точек А и В и точек В и С будет искомой.

Задача 9.

Найдите произведение всех целых чисел от (-99) до 99.

Ответ:

0

Задача 10.

Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места.
Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время.
В пути они отдыхали.
Первая семья была в пути в двое больше времени, чем вторая.
Вторая была в пути втрое больше времени. Чем отдыхала первая.
Какая из этих семей двигалась на машине быстрее?

Ответ:

1-я семья: 2х часов - время на езду, у часов - время на отдых.
2-я семья: 3у часов - время на езду, х часов - время на отдых 2х + у = 3у + х; х = 2у.
Вторая семья отдыхала в два раза больше, чем первая следовательно, она ехала быстрее первой.

Задача 11.

Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда?

Ответ:

Наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.